Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 16 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 85 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 100 N·m agisce in B, a 0,8 m da A, e un momento torcente di 100 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 1,5 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 50 mmT_B = 100 N·mT_C = 100 N·mAB = 0,8 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 10 kN/m da 0 a 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

30 kN @ 0 m45 kN @ 12 m8 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 170 mm e spesse 18 mm, un’altezza complessiva di 280 mm e un’anima spessa 8 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico S_x per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 170 mmH = 280 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 40 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 40 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta un momento flettente di 200 N·m insieme a un momento torcente di 750 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 50 mmM = 200 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico concentrato P in mezzeria. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 3 mP = 30 kN in 1,5 m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2125 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/117000 = 0,002125 = 2125 µε

Risposta

ε = 2125 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 422,8 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 422,8 MPa

Risposta

σ_max = 422,8 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,17 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(26000·79522) = 0,3869 rad

φ = 0,3869·180/π = 22,17°

Risposta

φ = 22,17°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 8,149 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 100 = 200 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·50³) = 8,149 MPa

Risposta

τ_max = 8,149 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 80 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 50·2 − 10·2·1 = 80 kN·m

Risposta

M_x = 80 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 10 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 58,25 kN, R₂ = 80,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −19,5, M_D = −11, M_E = −34,5, M_F = −90 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −90 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: S_x = 820,5 × 10³ mm³

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 280 − 2·18 = 244 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·280³ − 162·244³)/12

I_x = 1,149 × 10⁸ mm⁴

Modulo di resistenza

c = H/2 = 140 mm

S_x = I/c = 1,149 × 10⁸/140

S_x = 820536 mm³ = 820,5 × 10³ mm³

Risposta

S_x = 820,5 × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 121,6 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

anima: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·172,5 + 1920·80)/5420 = 139,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·25³/12 + 3500·(172,5 − 139,7)² = 3,94 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·160³/12 + 1920·(80 − 139,7)² = 1,095 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,94 × 10⁶ + 1,095 × 10⁷ = 1,489 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 185 − 139,7 = 45,27 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·45,27/1,489 × 10⁷ = 121,6 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 121,6 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = −14,87 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 10 − −60) = −29,74°

Angolo sull’elemento

θ_p = −14,87°

Risposta

θ_p = −14,87°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 39,77 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·50³) = 16,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·50³) = 30,56 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 8,149 MPa

R = √(8,149² + 30,56²) = 31,63 MPa

σ₁ = C + R = 39,77 MPa

σ₂ = C − R = −23,48 MPa

Risposta

σ₁ = 39,77 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 4,177 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 4,177 mm

Risposta

δ_max = 4,177 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 9,375 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·30/16 = 9,375 kN

Risposta

R_B = 9,375 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 2,047 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·6000 = 12000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/12000² = 2047 N = 2,047 kN

Risposta

P_cr = 2,047 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 197,4 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Risposta

σ_cr = 197,4 MPa

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