Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di alluminio sotto il carico assiale.

P = 115 kNd = 20 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 75 kNtratto 1: Ø25 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 60 mm, diametro interno 42 mm, lunghezza 1,2 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 1500 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 1500 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 25 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 100 N·m è applicato in C, a 1,5 m da A e a 1,2 m da B. Trova l’angolo di rotazione φ_C della sezione C, in gradi.

d = 25 mmT₀ = 100 N·ma = 1,5 mb = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 60 kN in 1 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 97,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 0 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 6 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 11 kNa = 6 mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 75 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/360. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 75 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 15,69 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 115·1000/314,2 = 366,1 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 366,1/70000 = 0,005229 = 5229 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,005229·3000 mm = 15,69 mm

Risposta

δ = 15,69 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,533 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 152,8·1500/200000 = 1,146 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·1000/100000 = 2,387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,533 mm

Risposta

δ = 3,533 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,735 °

Momento d’inerzia polare

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Angolo di torsione

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·1200/(39000·966855) = 0,04774 rad

φ = 0,04774·180/π = 2,735°

Risposta

φ = 2,735°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 1,245 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1,2/2,7 = 44,44 N·m

T_B = 100·1,5/2,7 = 55,56 N·m

Rotazione di C

Usa il tratto AC: è incastrato in A e porta T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 44444·1500/(80000·38350) = 0,02173 rad = 1,245°

Risposta

φ_C = 1,245°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 4,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 6·3 − 3·3·1,5 = 4,5 kN·m

Risposta

M_x = 4,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 70 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·1 + 5·8·4

R_B = 220/8 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 27,5 = 72,5 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 72,5·1 − 5·1·0,5 = 70 kN·m

Risposta

M_x = 70 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 39,91 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 2827·97,5)/(22500 − 2827) = 71,77 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·3,234² = 42,42 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·25,73² = 2,509 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 39,91 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 39,91 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 91,93 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

anima: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·285 + 5040·140)/6840 = 178,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·10³/12 + 1800·(285 − 178,2)² = 2,056 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·280³/12 + 5040·(140 − 178,2)² = 4,027 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,056 × 10⁷ + 4,027 × 10⁷ = 6,083 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 290 − 178,2 = 111,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·111,8/6,083 × 10⁷ = 91,93 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 91,93 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 11,98 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 160 − −20) = 23,96°

Angolo sull’elemento

θ_p = 11,98°

Risposta

θ_p = 11,98°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 28,66 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 40 + −40·0,5 + 10·0,866 = 28,66 MPa

Risposta

σ_θ = 28,66 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 2,75 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, a = 6000 mm, b = 2000 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·6000²·2000²/(3·2,4 × 10¹³·8000) = 2,75 mm

Risposta

δ_P = 2,75 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 143 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·3500⁴/(384·11000·9,722) = 1,827 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·1,827 × 10⁷/75)^1/3 = 143 mm

Risposta

h_req = 143 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 34,88 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

Risposta

P_cr = 34,88 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 77,11 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Risposta

σ_cr = 77,11 MPa

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