Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 10 kNtratto 1: Ø40 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 20 kW a 1450 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 60 MPa e la torsione non deve superare 0,25° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 6 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 45 kN in 2 mw = 4 kN/m da 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 96 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 10 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 90 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta un momento flettente di 200 N·m insieme a un momento torcente di 500 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione tangenziale massima nel piano τ_max.

d = 50 mmM = 200 N·mT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 477,5 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 15·1000/314,2 = 47,75 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 47,75/100000 = 0,0004775 = 477,5 µε

Risposta

ε = 477,5 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,216 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 7,958·500/70000 = 0,05684 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·1000/200000 = 0,1592 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,216 mm

Risposta

δ = 0,216 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,315 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·251327) = 0,02296 rad

φ = 0,02296·180/π = 1,315°

Risposta

φ = 1,315°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 44,28 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diametro per la resistenza

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·60)) = 22,36 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 44,28 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(22,36, 44,28) = 44,28 mm

Risposta

d = 44,28 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −6 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 15 − 6·3,5 = −6 kN

Risposta

V_x = −6 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 41,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 4·4·2

R_B = 122/4 = 30,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 30,5 = 30,5 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 30,5·2,5 − 45·(2,5 − 2) − 4·2,5·1,25 = 41,25 kN·m

Risposta

M_x = 41,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 2827·96)/(36000 − 2827) = 122 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·−2,046² = 173 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−26,05² = 2,554 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 170,4 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 122,9 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

anima: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·305 + 5400·150)/7800 = 197,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·10³/12 + 2400·(305 − 197,7)² = 2,766 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·300³/12 + 5400·(150 − 197,7)² = 5,278 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,766 × 10⁷ + 5,278 × 10⁷ = 8,044 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 197,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·197,7/8,044 × 10⁷ = 122,9 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 122,9 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 45,81 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 60 MPa, R = √(30² + 10²) = 31,62 MPa

σ₁ = 91,62 MPa, σ₂ = 28,38 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(63,25, 91,62, 28,38)/2 = 45,81 MPa

Risposta

τ_abs = 45,81 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 21,94 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·50³) = 16,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 8,149 MPa

R = √(8,149² + 20,37²) = 21,94 MPa

Risposta

τ_max = 21,94 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,922 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,922 mm

Risposta

δ_max = 3,922 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·4000⁴/(384·70000·11,11) = 3,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 34,29 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 387,6 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/1250² = 387578 N = 387,6 kN

Risposta

P_cr = 387,6 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 7,676 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Risposta

σ_cr = 7,676 MPa

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