Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 60 mm, E = 110 GPa). Entrambi sono lunghi 300 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 200 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 200 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 110 kNtratto 1: Ø35 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 40 mm e lunghezza 3 m; il tratto BC ha diametro 30 mm e lunghezza 0,5 m. Un momento torcente di 200 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 200 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 100 N·m agisce in B, a 2,5 m da A, e un momento torcente di 1500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 1,5 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2,5 mBC = 1,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 6 kN/m da 0 a 6 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 60 kN in 4,5 mw = 2 kN/m da 0 a 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 60 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 96 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mmcentro del foro: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 180 × 20 mm, un’anima alta 360 mm e spessa 12 mm, e un’ala inferiore 300 × 20 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 180 × 20 mmanima: 12 × 360 mmala inferiore: 300 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 110 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 90 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 90 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,05584 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·8482 = 1,074 × 10⁹ N

Accorciamento

δ = 200000·300/1,074 × 10⁹ = 0,05584 mm

Risposta

δ = 0,05584 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 547,1 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 114,3 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 547,1 MPa

Risposta

σ_max = 547,1 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 5,355 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 200000·3000/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ_BC = 200000·500/(39000·79522) = 0,03224 rad

Torsione totale

φ_C = 0,06121 + 0,03224 = 0,09346 rad = 5,355°

Risposta

φ_C = 5,355°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 9,959 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 100 = 1400 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,4 × 10⁶·2500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,1058 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,06801 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,1058 + 0,06801 = 0,1738 rad → |φ_C| = 9,959°

Risposta

φ_C = 9,959°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 15 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Taglia in x = 1 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 18·1 − 6·1·0,5 = 15 kN·m

Risposta

M_x = 15 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 74,25 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4,5 + 2·6·3

R_B = 306/6 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 51 = 21 kN

Taglia in x = 4,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 21·4,5 − 2·4,5·2,25 = 74,25 kN·m

Risposta

M_x = 74,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (24000·120 − 2827·96)/(24000 − 2827) = 123,2 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·240³/12 + 24000·−3,205² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−27,21² = 2,729 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 112,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 112,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 378,6 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 3600 mm², y = 390 mm

anima: A = 4320 mm², y = 200 mm

ala inferiore: A = 6000 mm², y = 10 mm

Baricentro

ȳ = (3600·390 + 4320·200 + 6000·10)/13920 = 167,2 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 180·20³/12 + 3600·222,8² = 1,788 × 10⁸ mm⁴

anima: 12·360³/12 + 4320·32,76² = 5,129 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 300·20³/12 + 6000·157,2² = 1,485 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,788 × 10⁸ + 5,129 × 10⁷ + 1,485 × 10⁸

I_x = 3,786 × 10⁸ mm⁴ = 378,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 378,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 4,065 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 90 − −50) = 8,13°

Angolo sull’elemento

θ_p = 4,065°

Risposta

θ_p = 4,065°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 70,26 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 105 + 5·0,766 + −60·0,6428 = 70,26 MPa

Risposta

σ_θ = 70,26 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 4,821 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 8·3000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 4,821 mm

Risposta

δ = 4,821 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·5000⁴/(384·200000·13,89) = 4,395 × 10⁷ mm⁴

I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 43,95 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 109,9 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109,9 kN

Risposta

P_cr = 109,9 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 90,43 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 90,43 mm

Risposta

d = 90,43 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 265,4, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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