Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 45 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 120 MPa) sta dentro un tubo di rame (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 120 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in alluminio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 30 mm e lunghezza 0,5 m; il tratto BC ha diametro 25 mm e lunghezza 1 m. Un momento torcente di 250 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 30 kW a 1000 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 60 MPa e la torsione non deve superare 0,25° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2,5 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente M_B all’appoggio B. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10,5 mw = 10 kN/m da 0 a 10,5 mappoggi in x = 0 e x = 8 m

M_B = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 300 mm con due ali verticali, alta 180 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 300 mmh = 180 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 50 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 40 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 15° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia δ_mid in mezzeria.

P = 13 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 6,714 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/100000 = 0,002238 = 2238 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,002238·3000 mm = 6,714 mm

Risposta

δ = 6,714 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 518,4 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Deformazione governante

ε = min(0,0006, 0,0005) = 0,0005 (rame)

Carico massimo

P_max = 0,0005·1,037 × 10⁹ = 518363 N = 518,4 kN

Risposta

P_max = 518,4 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 17,83 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 250000·500/(26000·79522) = 0,06046 rad

φ_BC = 250000·1000/(26000·38350) = 0,2507 rad

Torsione totale

φ_C = 0,06046 + 0,2507 = 0,3112 rad = 17,83°

Risposta

φ_C = 17,83°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 64,35 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diametro per la resistenza

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·60)) = 28,97 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 64,35 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(28,97, 64,35) = 64,35 mm

Risposta

d = 64,35 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 16,67, M_C = 33,33 kN·m, M_D = 30, M_E = 26,67, M_F = 13,33, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 33,33 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_B = −31,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·10,5 = 105 kN, applicata in x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·10,5·5,25

R_B = 551,3/8 = 68,91 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 68,91 = 36,09 kN

Taglia in B e tieni lo sbalzo

Il carico sullo sbalzo, w·a, agisce a a/2 da B e tende le fibre superiori della trave sopra l’appoggio.

M_B = −w·a²/2 = −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

Risposta

M_B = −31,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 55,01 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 300·16 = 4800 mm², y₁ = 8 mm

due ali: A₂ = 2·16·164 = 5248 mm², y₂ = 16 + 164/2 = 98 mm

Baricentro

ȳ = (4800·8 + 5248·98)/10048 = 55,01 mm

Risposta

ȳ = 55,01 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 20,6 kN·m

Baricentro

ȳ = (7800·295 + 4480·140)/12280 = 238,5 mm

bordo superiore: c = 310 − 238,5 = 71,55 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 260·30³/12 + 7800·56,55² + 16·280³/12 + 4480·98,45² = 9,822 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 100·9,822 × 10⁷/71,55 = 137,3 kN·m

bordo inferiore: M = 50·9,822 × 10⁷/238,5 = 20,6 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 20,6 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 20,6 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 50,25 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − 60)/2)² + −50²) = 50,25 MPa

Risposta

τ_max = 50,25 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 68,66 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 30 + 10·0,866 + 60·0,5 = 68,66 MPa

Risposta

σ_θ = 68,66 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 24,66 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 24,66 mm

Risposta

δ = 24,66 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_mid = 9,32 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 13000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia in mezzeria

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·1,7 × 10¹²) = 9,32 mm

Risposta

δ_mid = 9,32 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 102,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/3500² = 102511 N = 102,5 kN

Risposta

P_cr = 102,5 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 19,28 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Risposta

σ_cr = 19,28 MPa

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