Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 35 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 65 kNtratto 1: Ø25 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in alluminio lungo 3 m è sollecitato da un momento torcente di 1000 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 1000 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 10 kW a 500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 10 kWN = 500 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 3 kN/m da 0 a 5 mx = 3 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 4 mw = 16 kN/m da 0 a 2 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 190 mm e spesse 20 mm, un’altezza complessiva di 400 mm e un’anima spessa 12 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 190 mmH = 400 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 20 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 1,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 20 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 50 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 50 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,3714 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/200000 = 0,0002476 = 247,6 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0002476·1500 mm = 0,3714 mm

Risposta

δ = 0,3714 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 17,08 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 132,4·1000/200000 = 0,6621 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·2000/70000 = 16,42 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 17,08 mm

Risposta

δ = 17,08 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 81,85 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·3000/(26000·0,02618) = 4,407 × 10⁶ mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 81,85 mm

Risposta

d = 81,85 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 17,46 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/218755 = 17,46 MPa

Risposta

τ_max = 17,46 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −1,5 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 7,5 − 3·3 = −1,5 kN

Risposta

V_x = −1,5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 18 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 16·2 = 32 kN, applicata in x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 16·2·1

R_B = 32/4 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 8 = 24 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 24/16 = 1,5 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 24·1,5 − 16·1,5²/2 = 18 kN·m

Risposta

M_max = 18 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 321,3 × 10⁶ mm⁴

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 400 − 2·20 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (190·400³ − 178·360³)/12

I_x = 3,213 × 10⁸ mm⁴ = 321,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 321,3 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 268,5 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

anima: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·195 + 2880·90)/9480 = 163,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·30³/12 + 6600·(195 − 163,1)² = 7,211 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·180³/12 + 2880·(90 − 163,1)² = 2,317 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,211 × 10⁶ + 2,317 × 10⁷ = 3,038 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 163,1 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·163,1/3,038 × 10⁷ = 268,5 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 268,5 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −39,85 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 10/55,9 = 0,1789, sin 2θ_s = −55/55,9 = −0,9839

2θ_s = atan2(−55, 10) = −79,7°

Angolo sull’elemento

θ_s = −39,85°

verifica: θ_s − θ_p = −39,85 − 5,152 = −45°

Risposta

θ_s = −39,85°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −48,97 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −45·0,866 + 20·−0,5 = −48,97 MPa

Risposta

τ_θ = −48,97 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 17,76 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·1500²·2500²/(3·1,32 × 10¹²·4000) = 17,76 mm

Risposta

δ_P = 17,76 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 198 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3,236 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·3,236 × 10⁷/50)^1/3 = 198 mm

Risposta

h_req = 198 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 48,83 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3000² = 48835 N = 48,83 kN

Risposta

P_cr = 48,83 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 19,28 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Risposta

σ_cr = 19,28 MPa

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