Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 85 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 20 mm viene torto da un momento torcente di 20 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 400 mm ruotano di 0,75° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 20 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 0,75°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 100 kW a 750 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,5 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 40 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 100 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 7,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 12 m25 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 300 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 105 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 14 kNw = 2 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 8 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1088 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/117000 = 0,001088 = 1088 µε

Risposta

ε = 1088 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 10,07 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·1500/100000 = 1,015 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·1500/70000 = 9,059 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 10,07 mm

Risposta

δ = 10,07 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 38,91 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 0,75·π/180 = 0,01309 rad

Modulo di taglio

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·400/(15708·0,01309) = 38907 MPa

G = 38,91 GPa

Risposta

G = 38,91 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 55,71 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 1273 N·m = 1,273 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 55,71 mm

d_i = 0,5·55,71 = 27,86 mm

Risposta

d_o = 55,71 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 54,53 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −12,5 kN

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Taglia in x = 7,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 25 − 5·7,5 = −12,5 kN

Risposta

V_x = −12,5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 5,25 kN, R₂ = 117,8 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −1,5, M_C = −27, M_D = −76,5, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −200 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (60000·150 − 1257·105)/(60000 − 1257) = 151 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,9626² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−45,96² = 2,78 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 14,44 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (4400·230 + 3520·110)/7920 = 176,7 mm

bordo superiore: c = 240 − 176,7 = 63,33 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 220·20³/12 + 4400·53,33² + 16·220³/12 + 3520·66,67² = 4,25 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 100·4,25 × 10⁷/63,33 = 67,11 kN·m

bordo inferiore: M = 60·4,25 × 10⁷/176,7 = 14,44 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 14,44 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 14,44 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 40,27 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 10 − 0) = 80,54°

Angolo sull’elemento

θ_p = 40,27°

Risposta

θ_p = 40,27°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −70,93 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −105·0,866 + −40·−0,5 = −70,93 MPa

Risposta

τ_θ = −70,93 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 7,09 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·1500³/(3·2,4 × 10¹²) = 6,563 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 0,5273 mm

Sommale

δ = 6,563 + 0,5273 = 7,09 mm

Risposta

δ = 7,09 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 12 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

Risposta

R_B = 12 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 45,69 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1500² = 45693 N = 45,69 kN

Risposta

P_cr = 45,69 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 8,567 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

Risposta

σ_cr = 8,567 MPa

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