Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 40 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,2 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 10 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 15 kW a 1450 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 7,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 3 kN/m da 0 a 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 0 m55 kN @ 6 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 280 mm con due ali verticali, alta 200 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 280 mmh = 200 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 160 × 16 mm, un’anima alta 370 mm e spessa 14 mm, e un’ala inferiore 220 × 16 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 160 × 16 mmanima: 14 × 370 mmala inferiore: 220 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 80 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 150 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/250. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 150 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 21,54 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,2/9,284 × 10⁻⁶ = 21542 N = 21,54 kN

Risposta

P = 21,54 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 49,74 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 49,74 MPa

Risposta

σ_max = 49,74 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,669 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(80000·38350) = 0,08149 rad

φ = 0,08149·180/π = 4,669°

Risposta

φ = 4,669°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 18,46 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·80)) = 18,46 mm

Risposta

d = 18,46 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 28,13 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Taglia in x = 7,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 15·7,5 − 3·7,5·3,75 = 28,13 kN·m

Risposta

M_x = 28,13 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 19 kN, R₂ = 89 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −54, M_D = −79, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −110 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 64,79 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 280·16 = 4480 mm², y₁ = 8 mm

due ali: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

Baricentro

ȳ = (4480·8 + 5888·108)/10368 = 64,79 mm

Risposta

ȳ = 64,79 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 282,7 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2560 mm², y = 394 mm

anima: A = 5180 mm², y = 201 mm

ala inferiore: A = 3520 mm², y = 8 mm

Baricentro

ȳ = (2560·394 + 5180·201 + 3520·8)/11260 = 184,5 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 160·16³/12 + 2560·209,5² = 1,124 × 10⁸ mm⁴

anima: 14·370³/12 + 5180·16,45² = 6,05 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 220·16³/12 + 3520·176,5² = 1,098 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,124 × 10⁸ + 6,05 × 10⁷ + 1,098 × 10⁸

I_x = 2,827 × 10⁸ mm⁴ = 282,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 282,7 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 54,08 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((30 − 120)/2)² + 30²) = 54,08 MPa

Risposta

τ_max = 54,08 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −32,62 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−15·−0,6428 + −30·0,766 = −32,62 MPa

Risposta

τ_θ = −32,62 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 40,18 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 40,18 mm

Risposta

δ_max = 40,18 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 205,1 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·18) = 1,079 × 10⁸ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·1,079 × 10⁸/150)^1/3 = 205,1 mm

Risposta

h_req = 205,1 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 274,2 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/750² = 274156 N = 274,2 kN

Risposta

P_cr = 274,2 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 19,28 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19,28 MPa

Risposta

σ_cr = 19,28 MPa

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