Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 60 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 400 N·m agisce in B, a 0,5 m da A, e un momento torcente di 500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 1,2 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 50 mmT_B = 400 N·mT_C = 500 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 2,5 mP = 20 kN in 1,5 mw = 10 kN/m da 0 a 2,5 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 12 m35 kN @ 4 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 140 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 168 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 40 × 50 mmcentro del foro: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 45° in senso orario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 17 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1865 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 373/200000 = 0,001865 = 1865 µε

Risposta

ε = 1865 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 35,04 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 60000·353429/856084 = 24771 N

Tensione

σ₂ = 24771/706,9 = 35,04 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 35,04 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,169 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·500/(39000·251327) = 0,0204 rad

φ = 0,0204·180/π = 1,169°

Risposta

φ = 1,169°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 20,37 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 400 = 100 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Risposta

τ_max = 20,37 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −61,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −20·1,5 = −30 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −30 − 31,25 = −61,25 kN·m

Risposta

M_A = −61,25 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 32 kN, R₂ = 102 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 48, M_C = 64, M_D = −22, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −140 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (40000·100 − 1257·140)/(40000 − 1257) = 98,7 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·200³/12 + 40000·1,297² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·41,3² = 2,269 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 131,1 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 167,5 × 10⁶ mm⁴

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 2000·168)/(36000 − 2000) = 117,2 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·2,824² = 173,1 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·50³/12 + 2000·50,82² = 5,583 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 167,5 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 167,5 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = −50 MPa

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 10 − 30·0 − (−60)·(−1) = −50 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 70 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 20 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = −50 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 4,456

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −45 MPa, R = 33,54 MPa

σ₁ = −11,46 MPa, σ₂ = −78,54 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 78,54 MPa

n = 350/78,54 = 4,456

Risposta

n = 4,456

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 41,69 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 41,69 mm

Risposta

δ_max = 41,69 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 11,81 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1500²)/3) = 4537 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11,81 mm

Risposta

δ_max = 11,81 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 59,69 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1250² = 59691 N = 59,69 kN

Risposta

P_cr = 59,69 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 21,93 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Risposta

σ_cr = 21,93 MPa

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