Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 50 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,4 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 35 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 1000 N·m agisce in B, a 0,5 m da A, e un momento torcente di 750 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 0,5 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,5 mBC = 0,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mw = 12 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 25 kN in 7 mw = 3 kN/m da 0 a 10 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 180 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 300 mmintaglio: 40 × 30 mmcentro del foro: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 600 mm e spessore di parete di 12 mm contiene gas a una pressione relativa di 2,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 30° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 600 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 2 kNw = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 38,47 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Carico

P = 0,4/1,04 × 10⁻⁵ = 38468 N = 38,47 kN

Risposta

P = 38,47 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,527 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 27,85 MPa

σ₂ = 111,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 27,85·1000/200000 = 0,1393 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 111,4·1500/70000 = 2,387 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,527 mm

Risposta

δ = 2,527 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 7,015 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(39000·251327) = 0,1224 rad

φ = 0,1224·180/π = 7,015°

Risposta

φ = 7,015°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 1,459 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C + T_B = 750 + 1000 = 1750 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 1,75 × 10⁶·500/(80000·613592) = 0,01783 rad

φ_BC = 750000·500/(80000·613592) = 0,007639 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,01783 + 0,007639 = 0,02546 rad → |φ_C| = 1,459°

Risposta

φ_C = 1,459°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 31,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 30·3,5 − 12·3,5·1,75 = 31,5 kN·m

Risposta

M_x = 31,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 30,38 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·7 + 3·10·5

R_B = 325/10 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 32,5 = 22,5 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 22,5·1,5 − 3·1,5·0,75 = 30,38 kN·m

Risposta

M_x = 30,38 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 4,117 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

anima: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·110 + 1200·50)/4000 = 92 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·20³/12 + 2800·(110 − 92)² = 1,001 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·100³/12 + 1200·(50 − 92)² = 3,117 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,001 × 10⁶ + 3,117 × 10⁶ = 4,117 × 10⁶ mm⁴ = 4,117 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 4,117 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 268,8 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·150 − 1200·180)/(36000 − 1200) = 149 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·300³/12 + 36000·1,034² = 270 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·30³/12 + 1200·31,03² = 1,246 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 268,8 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 268,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 53,15 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − −20)/2)² + −40²) = 53,15 MPa

Risposta

τ_max = 53,15 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 54,69 MPa

Tensioni nella parete

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2,5·300/12 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 31,25·sin²30° + 62,5·cos²30° = 54,69 MPa

Risposta

σ_n = 54,69 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 27,13 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 27,13 mm

Risposta

δ_max = 27,13 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 74,87 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, w = 15 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·5000³/(48·1,7 × 10¹²) = 3,064 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·5000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 71,81 mm

Sommale

δ_max = 3,064 + 71,81 = 74,87 mm

Risposta

δ_max = 74,87 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 96,89 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Risposta

P_cr = 96,89 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 6,12 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/12,5 = 336

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/336² = 6,12 MPa

Risposta

σ_cr = 6,12 MPa

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