Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di bronzo (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 110 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 50 mm, lunghezza 200 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 40 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 250 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,7 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 1500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mP₁ = 60 kN in 4,5 mP₂ = 60 kN in 5 m

M_max = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 15 kN in 5 mw = 10 kN/m da 0 a 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 100 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 400 mm e un’anima spessa 6 mm. Porta un momento flettente di 150 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 100 mmH = 400 mmt_f = 16 mmt_w = 6 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 80 MPa e σᵧ = 10 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 140 MPa?

σ_x = 80 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 130 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 3 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 55 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 55 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 106,5 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706,9) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/4,694 × 10⁻⁶ = 106513 N = 106,5 kN

Risposta

P = 106,5 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 14,68 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 40000·1,08 × 10⁶/1,499 × 10⁶ = 28821 N

Tensione

σ₂ = 28821/1963 = 14,68 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 14,68 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 30,34 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,7599)) = 30,34 mm

d_i = 0,7·30,34 = 21,24 mm

Risposta

d_o = 30,34 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 27,69 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 27,26 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·80)) = 27,26 mm

Risposta

d = 27,26 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 112,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·4,5 + 60·5

R_B = 570/6 = 95 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 95 = 25 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P₁: M = R_A·4,5 = 25·4,5 = 112,5 kN·m

sotto P₂: M = R_B·1 = 95·1 = 95 kN·m

Valore massimo

M_max = 112,5 kN·m (sotto P₁)

Risposta

M_max = 112,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 37,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·5 + 10·6·3

R_B = 255/6 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 42,5 = 32,5 kN

Taglia in x = 5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 32,5·5 − 10·5·2,5 = 37,5 kN·m

Risposta

M_x = 37,5 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 9,372 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

anima: A_w = 8·140 = 1120 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·155 + 1120·70)/8320 = 143,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·30³/12 + 7200·(155 − 143,6)² = 1,483 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·140³/12 + 1120·(70 − 143,6)² = 7,889 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,483 × 10⁶ + 7,889 × 10⁶ = 9,372 × 10⁶ mm⁴ = 9,372 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 9,372 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 193,1 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 400 − 2·16 = 368 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·400³ − 94·368³)/12

I_x = 1,43 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 200 − 16 = 184 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·184/1,43 × 10⁸ = 193,1 MPa

Risposta

σ_j = 193,1 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 88,32 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (80 + 10)/2 = 45 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 45 = 95 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 35²) = 88,32 MPa

Risposta

τ_xy = 88,32 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −70 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −70·1 + 30·0 = −70 MPa

Risposta

τ_θ = −70 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,422 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

Risposta

δ_max = 2,422 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 11,25 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·3/8 = 11,25 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 45 − 33,75 = 11,25 kN·m

Risposta

M_A = 11,25 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 23,39 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/6000² = 23395 N = 23,39 kN

Risposta

P_cr = 23,39 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 81,35 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·55000 = 165000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·165000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 81,35 mm

Risposta

d = 81,35 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 147,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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