Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 70 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,2 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 50 mm, lunghezza 400 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 75 mm e lunghezza 2 m; il tratto BC ha diametro 20 mm e lunghezza 2,5 m. Un momento torcente di 200 N·m agisce all’estremo libero C. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 20 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 1800 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 6 m40 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 25 kN in 3 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 20 mm porta una forza assiale di compressione di 50 kN insieme a un momento torcente di 400 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione tangenziale massima nel piano τ_max.

d = 20 mmF = −50 kNT = 400 N·m

τ_max = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 7 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 30 kNa = 7 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 30 kNL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 24,64 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,2/8,116 × 10⁻⁶ = 24641 N = 24,64 kN

Risposta

P = 24,64 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 16,71 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·539961/822705 = 32816 N

Tensione

σ₂ = 32816/1963 = 16,71 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 16,71 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 127,3 MPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Tensione in ciascun tratto

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·75³) = 2,414 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·20³) = 127,3 MPa

Risposta

τ_max = 127,3 MPa

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 25,66 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·80)) = 25,66 mm

Risposta

d = 25,66 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 58,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 116,7, M_C = 153,3, M_D = 190 kN·m, M_E = 126,7, M_F = 63,33, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 190 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 21,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·3 + 3·4·2

R_B = 99/4 = 24,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37 − 24,75 = 12,25 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12,25·2,5 − 3·2,5·1,25 = 21,25 kN·m

Risposta

M_x = 21,25 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 13,99 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 140 + 25/2 = 152,5 mm

anima: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·152,5 + 1960·70)/8960 = 134,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·25³/12 + 7000·(152,5 − 134,5)² = 2,644 × 10⁶ mm⁴

anima: 14·140³/12 + 1960·(70 − 134,5)² = 1,134 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,644 × 10⁶ + 1,134 × 10⁷ = 1,399 × 10⁷ mm⁴ = 13,99 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 13,99 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 175,7 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

anima: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·212,5 + 1600·100)/7100 = 187,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·25³/12 + 5500·(212,5 − 187,1)² = 3,821 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·200³/12 + 1600·(100 − 187,1)² = 1,748 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,821 × 10⁶ + 1,748 × 10⁷ = 2,131 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 187,1 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·187,1/2,131 × 10⁷ = 175,7 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 175,7 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 96,05 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((110 − −40)/2)² + −60²) = 96,05 MPa

Risposta

τ_max = 96,05 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 266,8 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = −50000/(π·20²/4) = −50000/314,2 = −159,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·20³) = 254,6 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = −79,58 MPa

R = √((−79,58)² + 254,6²) = 266,8 MPa

Risposta

τ_max = 266,8 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 15,35 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·7000²·1000²/(3·3,99 × 10¹²·8000) = 15,35 mm

Risposta

δ_P = 15,35 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 38,72 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 19,36 mm

Somma entrambi i carichi

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 38,72 mm

Risposta

δ_max = 38,72 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 78,96 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78,96 kN

Risposta

P_cr = 78,96 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 126,3 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

Risposta

σ_cr = 126,3 MPa

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