Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 200 mm, E = 70 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,25 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 50 kNtratto 1: Ø25 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo deve sopportare un momento torcente di 750 N·m. Il suo diametro interno deve essere 0,7 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 30 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 1000 N·m agisce in B, a 2,5 m da A, e un momento torcente di 500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 2 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 30 mmT_B = 1000 N·mT_C = 500 N·mAB = 2,5 mBC = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 10 kN·m in x = 3 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mM₀ = 10 kN·m orario, in 3 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave poggia su una cerniera in A e su un carrello in B e sporge a sbalzo oltre B di 2,5 m fino all’estremo libero C. Un carico uniformemente distribuito w agisce su tutta la lunghezza A–C. Trova il momento flettente positivo massimo M_max tra gli appoggi.

L = 10,5 mw = 5 kN/m da 0 a 10,5 mappoggi in x = 0 e x = 8 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 260 mm con due ali verticali, alta 160 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 260 mmh = 160 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 40 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 40 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 10 MPa e σᵧ = −50 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 45 MPa?

σ_x = 10 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 45 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 800 mm e spessore di parete di 6 mm contiene gas a una pressione relativa di 2 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 55° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 800 mmt = 6 mmp = 2 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 11 kNL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 38,88 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,25/6,429 × 10⁻⁶ = 38884 N = 38,88 kN

Risposta

P = 38,88 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 7,993 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 101,9 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 101,9·500/117000 = 0,4353 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·2000/117000 = 7,557 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,993 mm

Risposta

δ = 7,993 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 43,76 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,7599)) = 43,76 mm

d_i = 0,7·43,76 = 30,63 mm

Risposta

d_o = 43,76 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 39,93 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 4,619 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 1000 = −500 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −500000·2500/(39000·79522) = −0,4031 rad

φ_BC = 500000·2000/(39000·79522) = 0,3224 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = −0,4031 + 0,3224 = −0,08061 rad → |φ_C| = 4,619°

Risposta

φ_C = 4,619°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 7 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 10/10 = 1 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −1 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a destra della coppia

Ora la parte sinistra contiene R_A e la coppia.

M_x = R_A·a + M₀ = −1·3 + 10 = 7 kN·m

Risposta

M_x = 7 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 32,57 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave, compreso il carico sullo sbalzo.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10,5 = 52,5 kN, applicata in x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·10,5·5,25

R_B = 275,6/8 = 34,45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 52,5 − 34,45 = 18,05 kN

Taglio nullo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 18,05/5 = 3,609 m

Momento positivo massimo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 18,05²/(2·5) = 32,57 kN·m

Risposta

M_max = 32,57 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 11,87 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 260·8 = 2080 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·152 = 2432 mm², y₂ = 8 + 152/2 = 84 mm

Baricentro

ȳ = (2080·4 + 2432·84)/4512 = 47,12 mm

Teorema del trasporto

base: 260·8³/12 + 2080·(4 − 47,12)² = 3,879 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·8·152³/12 + 2432·(84 − 47,12)² = 7,99 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,879 × 10⁶ + 7,99 × 10⁶

I_x = 1,187 × 10⁷ mm⁴ = 11,87 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 11,87 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 93,01 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

anima: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·210 + 1600·100)/5200 = 176,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·20³/12 + 3600·(210 − 176,2)² = 4,244 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·200³/12 + 1600·(100 − 176,2)² = 1,461 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,244 × 10⁶ + 1,461 × 10⁷ = 1,886 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 220 − 176,2 = 43,85 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·43,85/1,886 × 10⁷ = 93,01 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 93,01 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 57,66 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (10 + (−50))/2 = −20 MPa

R = σ₁ − C = 45 − (−20) = 65 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 30²) = 57,66 MPa

Risposta

τ_xy = 57,66 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 31,32 MPa

Tensioni nella parete

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/6 = 133,3 MPa

σ_a = pr/(2t) = 66,67 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (133,3 − 66,67)·sin 55°·cos 55° = 31,32 MPa

Risposta

|τ_n| = 31,32 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 21,65 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 21,65 mm

Risposta

δ = 21,65 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 17,54 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 11000 N, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm

δ₁ = 8,768 mm

Somma entrambi i carichi

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 17,54 mm

Risposta

δ_max = 17,54 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 182,8 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/3000² = 182770 N = 182,8 kN

Risposta

P_cr = 182,8 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 11,05 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

Risposta

σ_cr = 11,05 MPa

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