Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 65 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 15 kNtratto 1: Ø35 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 50 mm, diametro interno 30 mm, lunghezza 2,5 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 750 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 1000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 50 kN in 7 mw = 12 kN/m da 0 a 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 300 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 180 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 100 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 500 mm e un’anima spessa 8 mm. Porta un momento flettente di 150 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 100 mmH = 500 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 150 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 500 mm e spessore di parete di 12 mm contiene gas a una pressione relativa di 2,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 50° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 500 mmt = 12 mmp = 2,5 MPaα = 50°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 16 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,537 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/117000 = 0,001768 = 1768 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001768·2000 mm = 3,537 mm

Risposta

δ = 3,537 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,7865 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·2000/70000 = 0,4454 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·500/70000 = 0,341 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,7865 mm

Risposta

δ = 0,7865 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 5,158 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Angolo di torsione

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·2500/(39000·534071) = 0,09002 rad

φ = 0,09002·180/π = 5,158°

Risposta

φ = 5,158°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 31,89 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·75)) = 31,89 mm

Risposta

d = 31,89 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 61,33 kN, R₂ = 36,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 122,7, M_C = 229,3 kN·m, M_D = 204, M_E = 146,7, M_F = 73,33, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 229,3 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 204 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·7 + 12·10·5

R_B = 950/10 = 95 kN

ΣF_y = 0: R_A = 170 − 95 = 75 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 75·4 − 12·4·2 = 204 kN·m

Risposta

M_x = 204 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·150 − 706,9·180)/(30000 − 706,9) = 149,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·300³/12 + 30000·0,7239² = 225 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 224,3 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 150,3 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 500 − 2·14 = 472 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·500³ − 92·472³)/12

I_x = 2,355 × 10⁸ mm⁴

Tensione di flessione

y = 250 − 14 = 236 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·236/2,355 × 10⁸ = 150,3 MPa

Risposta

σ_j = 150,3 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 31,62 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − 30)/2)² + 30²) = 31,62 MPa

Risposta

τ_max = 31,62 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 36,8 MPa

Tensioni nella parete

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2,5·250/12 = 52,08 MPa

σ_a = pr/(2t) = 26,04 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 26,04·sin²50° + 52,08·cos²50° = 36,8 MPa

Risposta

σ_n = 36,8 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 9,848 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,03 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004545 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 9,848 mm

Risposta

δ_B = 9,848 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·1500⁴/(384·70000·4,167) = 4,52 × 10⁶ mm⁴

I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 4,52 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 629,4 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/1400² = 629439 N = 629,4 kN

Risposta

P_cr = 629,4 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 24,87 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/7,5 = 166,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Risposta

σ_cr = 24,87 MPa

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