Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di alluminio (diametro 30 mm, lunghezza 400 mm, E = 70 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,25 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø30 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 30 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 10 mm viene torto da un momento torcente di 75 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 250 mm ruotano di 13,68° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 75 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 13,68°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 50 kW a 500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 2,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 35 kN in 2,5 mw = 12 kN/m da 0 a 3 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 50 kN in 1 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 60 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 96 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 60 × 30 mmcentro del foro: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 70 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico concentrato P in mezzeria. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 6 mP = 50 kN in 3 m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 95 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 95 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 21,51 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·706,9) = 8,084 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,25/1,162 × 10⁻⁵ = 21513 N = 21,51 kN

Risposta

P = 21,51 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 15,22 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 30000·276460/433540 = 19130 N

Tensione

σ₂ = 19130/1257 = 15,22 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 15,22 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 79,99 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 13,68·π/180 = 0,2388 rad

Modulo di taglio

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(981,7·0,2388) = 79990 MPa

G = 79,99 GPa

Risposta

G = 79,99 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 40,18 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Risposta

d = 40,18 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −141,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −35·2,5 = −87,5 kN·m

w: −12·3²/2 = −54 kN·m

M_A = −87,5 − 54 = −141,5 kN·m

Risposta

M_A = −141,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 8,875 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1 + 3·4·2

R_B = 74/4 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 18,5 = 43,5 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 43,5·3,5 − 50·(3,5 − 1) − 3·3,5·1,75 = 8,875 kN·m

Risposta

M_x = 8,875 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 79,14 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

anima: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·287,5 + 5600·140)/8600 = 191,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·15³/12 + 3000·(287,5 − 191,5)² = 2,773 × 10⁷ mm⁴

anima: 20·280³/12 + 5600·(140 − 191,5)² = 5,141 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,773 × 10⁷ + 5,141 × 10⁷ = 7,914 × 10⁷ mm⁴ = 79,14 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 79,14 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 171,6 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 1800·96)/(36000 − 1800) = 121,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·−1,263² = 172,9 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

60·30³/12 + 1800·−25,26² = 1,284 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 171,6 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 171,6 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −54,22 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −10/31,62 = −0,3162, sin 2θ_s = −30/31,62 = −0,9487

2θ_s = atan2(−30, −10) = −108,4°

Angolo sull’elemento

θ_s = −54,22°

verifica: θ_s − θ_p = −54,22 − (−9,217) = −45°

Risposta

θ_s = −54,22°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −27,32 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−20·−0,866 + −20·0,5 = −27,32 MPa

Risposta

τ_θ = −27,32 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 3,488 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 3,488 mm

Risposta

δ = 3,488 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 56,25 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 150 − 93,75 = 56,25 kN·m

Risposta

M_A = 56,25 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 78,48 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/4000² = 78485 N = 78,48 kN

Risposta

P_cr = 78,48 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 64,81 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 64,81 mm

Risposta

d = 64,81 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 185,1, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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