Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 120 mm, diametro interno 70 mm, E = 110 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 100 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 100 kNasta: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 25 kNtratto 1: Ø35 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 40 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 500 N·m agisce in B, a 3 m da A, e un momento torcente di 250 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 2 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 40 mmT_B = 500 N·mT_C = 250 N·mAB = 3 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 60 kN·m in x = 7 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a sinistra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mM₀ = 60 kN·m orario, in 7 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

25 kN @ 0 m20 kN @ 12 m45 kN @ 8 m5 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 80 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 200 mmintaglio: 50 × 30 mmcentro del foro: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 250 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 5 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 25 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,09054 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·7461 = 8,836 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 100000·800/8,836 × 10⁸ = 0,09054 mm

Risposta

δ = 0,09054 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 79,58 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 25,98 MPa

σ₂ = 79,58 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 79,58 MPa

Risposta

σ_max = 79,58 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,384 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Risposta

φ = 4,384°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 59,68 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 500 = 750 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Risposta

τ_max = 59,68 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −42 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 60/10 = 6 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −6 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a sinistra della coppia

La parte sinistra contiene solo R_A.

M_x = R_A·a = −6·7 = −42 kN·m

Risposta

M_x = −42 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 57,5 kN, R₂ = 72,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = 5, M_D = 40, M_E = 55 kN·m, M_F = −40, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 55 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 50,54 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

anima: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·232,5 + 3520·110)/11020 = 193,4 mm

Teorema del trasporto

ala: 300·25³/12 + 7500·(232,5 − 193,4)² = 1,187 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·220³/12 + 3520·(110 − 193,4)² = 3,866 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,187 × 10⁷ + 3,866 × 10⁷ = 5,054 × 10⁷ mm⁴ = 50,54 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 50,54 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 79,25 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (24000·100 − 1500·80)/(24000 − 1500) = 101,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,333² = 80,04 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·30³/12 + 1500·−21,33² = 0,7952 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 79,25 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 79,25 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −7,018 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 60/61,85 = 0,9701, sin 2θ_s = −15/61,85 = −0,2425

2θ_s = atan2(−15, 60) = −14,04°

Angolo sull’elemento

θ_s = −7,018°

verifica: θ_s − θ_p = −7,018 − 37,98 = −45°

Risposta

θ_s = −7,018°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 1,822

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 85 MPa, R = 52,2 MPa

σ₁ = 137,2 MPa, σ₂ = 32,8 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 137,2 MPa

n = 250/137,2 = 1,822

Risposta

n = 1,822

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,002022 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 5·2500³/(24·1,61 × 10¹²) = 0,002022 rad

Risposta

θ_A = 0,002022 rad

Cioè 0,1158°.

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 18,12 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 16,47 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 1,647 mm

Sommale

δ_max = 16,47 + 1,647 = 18,12 mm

Risposta

δ_max = 18,12 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 65,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/750² = 65505 N = 65,5 kN

Risposta

P_cr = 65,5 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 44,22 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44,22 MPa

Risposta

σ_cr = 44,22 MPa

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