Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 110 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di alluminio (diametro 60 mm, lunghezza 300 mm, E = 70 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 80 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: alluminio, Ø60 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 10 mm viene torto da un momento torcente di 75 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 250 mm ruotano di 13,68° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 75 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 13,68°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 25 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 200 N·m agisce in B, a 0,5 m da A, e un momento torcente di 250 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 1,2 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 25 mmT_B = 200 N·mT_C = 250 N·mAB = 0,5 mBC = 1,2 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 9 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mw = 12 kN/m da 0 a 10 mx = 9 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 20 kN in 3 mw = 3 kN/m da 0 a 6 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 300 mm con due ali verticali, alta 110 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 14 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 300 mmh = 110 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 420 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = −10 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 100 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 100 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 7003 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 110·1000/78,54 = 1401 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1401/200000 = 0,007003 = 7003 µε

Risposta

ε = 7003 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 22,67 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·2827/300 = 659734 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 80000·659734/823359 = 64102 N

Tensione

σ₂ = 64102/2827 = 22,67 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 22,67 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 79,99 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 13,68·π/180 = 0,2388 rad

Modulo di taglio

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(981,7·0,2388) = 79990 MPa

G = 79,99 GPa

Risposta

G = 79,99 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 18,68 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C − T_B = 250 − 200 = 50 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 50000·500/(26000·38350) = 0,02507 rad

φ_BC = 250000·1200/(26000·38350) = 0,3009 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,02507 + 0,3009 = 0,3259 rad → |φ_C| = 18,68°

Risposta

φ_C = 18,68°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 54 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Taglia in x = 9 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 60·9 − 12·9·4,5 = 54 kN·m

Risposta

M_x = 54 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 43,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3 + 3·6·3

R_B = 114/6 = 19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 38 − 19 = 19 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 19·3 − 3·3·1,5 = 43,5 kN·m

Risposta

M_x = 43,5 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 28,46 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

due ali: A₂ = 2·14·96 = 2688 mm², y₂ = 14 + 96/2 = 62 mm

Baricentro

ȳ = (4200·7 + 2688·62)/6888 = 28,46 mm

Risposta

ȳ = 28,46 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 6,81 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

anima: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 2520·90)/10920 = 170,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·30³/12 + 8400·(195 − 170,8)² = 5,562 × 10⁶ mm⁴

anima: 14·180³/12 + 2520·(90 − 170,8)² = 2,324 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,562 × 10⁶ + 2,324 × 10⁷ = 2,881 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 210 − 170,8 = 39,23 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·39,23/2,881 × 10⁷ = 6,81 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 6,81 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 82,03 °

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, 10 − 80) = 164,1°

Angolo sull’elemento

θ_p = 82,03°

Risposta

θ_p = 82,03°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 3,023

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 25 MPa, R = 69,46 MPa

σ₁ = 94,46 MPa, σ₂ = −44,46 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 138,9 MPa

n = 420/138,9 = 3,023

Risposta

n = 3,023

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 3,172 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 3,172 mm

Risposta

δ_max = 3,172 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,205 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Risposta

P_cr = 4,205 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 47,42 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 47,42 mm

Risposta

d = 47,42 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 118,1, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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