Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 95 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 200 MPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 100 mm, diametro interno 60 mm, E = 70 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 5 kW a 1800 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,8 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 50 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 5 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m4 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 0 m40 kN @ 6 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 60 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo M_allow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 160 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 8 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 90 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 90 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 12096 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 95·1000/78,54 = 1210 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1210/100000 = 0,0121 = 12096 µε

Risposta

ε = 12096 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 517 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,001, 0,0008571) = 0,0008571 (alluminio)

Carico massimo

P_max = 0,0008571·6,032 × 10⁸ = 517016 N = 517 kN

Risposta

P_max = 517 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 6,576 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(26000·251327) = 0,1148 rad

φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Risposta

φ = 6,576°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 16,6 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 26,53 N·m = 26526 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·26526/(π·50·0,5904)) = 16,6 mm

d_i = 0,8·16,6 = 13,28 mm

Risposta

d_o = 16,6 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 13,93 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 51,5 kN, R₂ = 51,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 95, M_C = 174, M_D = 237 kN·m, M_E = 174, M_F = 95, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 237 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 5 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 12,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −10, M_D = −15, M_E = −25, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −40 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 9,348 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

anima: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·130 + 1920·60)/7120 = 111,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·20³/12 + 5200·(130 − 111,1)² = 2,026 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·120³/12 + 1920·(60 − 111,1)² = 7,322 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,026 × 10⁶ + 7,322 × 10⁶ = 9,348 × 10⁶ mm⁴ = 9,348 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 9,348 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 8,128 kN·m

Baricentro

ȳ = (2000·130 + 2400·60)/4400 = 91,82 mm

bordo superiore: c = 140 − 91,82 = 48,18 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 100·20³/12 + 2000·38,18² + 20·120³/12 + 2400·31,82² = 8,292 × 10⁶ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.

bordo superiore: M = 60·8,292 × 10⁶/48,18 = 10,33 kN·m

bordo inferiore: M = 90·8,292 × 10⁶/91,82 = 8,128 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 8,128 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 8,128 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −31,72 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/67,08 = 0,4472, sin 2θ_s = −60/67,08 = −0,8944

2θ_s = atan2(−60, 30) = −63,43°

Angolo sull’elemento

θ_s = −31,72°

verifica: θ_s − θ_p = −31,72 − 13,28 = −45°

Risposta

θ_s = −31,72°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −66,93 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 15 + −65·0,766 + −50·0,6428 = −66,93 MPa

Risposta

σ_θ = −66,93 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,984 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,984 mm

Risposta

δ_max = 1,984 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 96 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·8/8 = 36 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 384 − 288 = 96 kN·m

Risposta

M_A = 96 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 55,27 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/2000² = 55270 N = 55,27 kN

Risposta

P_cr = 55,27 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 64,6 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 64,6 mm

Risposta

d = 64,6 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 154,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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