Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 10 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 150 MPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 100 mm, diametro interno 60 mm, E = 70 GPa, tensione ammissibile 50 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 75 kW a 500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 80 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 45 kN in 1 mw = 8 kN/m da 0 a 4 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 20 kN in 1,5 mw = 2 kN/m da 0 a 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 140 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 14 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 160 mmh = 140 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −60 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 25° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 16 kNw = 2 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,6631 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/200000 = 0,0004421 = 442,1 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0004421·1500 mm = 0,6631 mm

Risposta

δ = 0,6631 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 430,8 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (alluminio)

Carico massimo

P_max = 0,0007143·6,032 × 10⁸ = 430847 N = 430,8 kN

Risposta

P_max = 430,8 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,9338 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(80000·38350) = 0,0163 rad

φ = 0,0163·180/π = 0,9338°

Risposta

φ = 0,9338°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 68,04 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Diametro per la resistenza

T = 1432 N·m = 1,432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·80)) = 45,01 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·1,432 × 10⁶/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 68,04 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(45,01, 68,04) = 68,04 mm

Risposta

d = 68,04 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −109 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −8·4²/2 = −64 kN·m

M_A = −45 − 64 = −109 kN·m

Risposta

M_A = −109 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 19 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,5 + 2·4·2

R_B = 46/4 = 11,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 11,5 = 16,5 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 16,5·2 − 20·(2 − 1,5) − 2·2·1 = 19 kN·m

Risposta

M_x = 19 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 49,82 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·14 = 2240 mm², y₁ = 7 mm

due ali: A₂ = 2·14·126 = 3528 mm², y₂ = 14 + 126/2 = 77 mm

Baricentro

ȳ = (2240·7 + 3528·77)/5768 = 49,82 mm

Risposta

ȳ = 49,82 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 65,09 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

anima: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·187,5 + 2880·90)/5580 = 137,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·15³/12 + 2700·(187,5 − 137,2)² = 6,888 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·180³/12 + 2880·(90 − 137,2)² = 1,419 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,888 × 10⁶ + 1,419 × 10⁷ = 2,107 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 137,2 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·137,2/2,107 × 10⁷ = 65,09 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 65,09 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 60,83 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 40 MPa, R = √(10² + (−60)²) = 60,83 MPa

σ₁ = 100,8 MPa, σ₂ = −20,83 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(121,7, 100,8, 20,83)/2 = 60,83 MPa

Risposta

τ_abs = 60,83 MPa

Qui σ₁ e σ₂ hanno segni opposti, quindi il massimo nel piano R è anche il massimo assoluto.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −35,97 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −5·0,766 + −50·0,6428 = −35,97 MPa

Risposta

τ_θ = −35,97 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 29,41 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 29,41 mm

Risposta

δ_max = 29,41 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 9,854 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 16000 N, w = 2 N/mm, L = 5000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·5,88 × 10¹²) = 7,086 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 2,768 mm

Sommale

δ_max = 7,086 + 2,768 = 9,854 mm

Risposta

δ_max = 9,854 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 71,62 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·40000/1050² = 71616 N = 71,62 kN

Risposta

P_cr = 71,62 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 24,48 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/6,25 = 168

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Risposta

σ_cr = 24,48 MPa

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