Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 30 kNd = 10 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 80 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in ottone lungo 2,5 m è sollecitato da un momento torcente di 2000 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 2000 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 20 kW a 1800 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 20 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 5 mP₁ = 45 kN in 1,5 mP₂ = 40 kN in 4 m

M_max = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 0 m25 kN @ 6 m35 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 40 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 400 mm e spessore di parete di 12 mm contiene gas a una pressione relativa di 1,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 25° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 400 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 25 kNw = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 40 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 40 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 9,549 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 30·1000/78,54 = 382 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 382/100000 = 0,00382 = 3820 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,00382·2500 mm = 9,549 mm

Risposta

δ = 9,549 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,637 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 254,6 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1500/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 254,6·500/100000 = 1,273 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,637 mm

Risposta

δ = 2,637 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 93,01 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2500/(39000·0,01745) = 7,346 × 10⁶ mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 93,01 mm

Risposta

d = 93,01 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 18,9 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·106103/(π·80)) = 18,9 mm

Risposta

d = 18,9 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 59,25 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1,5 + 40·4

R_B = 227,5/5 = 45,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 45,5 = 39,5 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P₁: M = R_A·1,5 = 39,5·1,5 = 59,25 kN·m

sotto P₂: M = R_B·1 = 45,5·1 = 45,5 kN·m

Valore massimo

M_max = 59,25 kN·m (sotto P₁)

Risposta

M_max = 59,25 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 82,5 kN, R₂ = 27,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −17,5, M_D = −20, M_E = −22,5, M_F = −25, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −50 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 5,276 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

anima: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·107,5 + 1800·50)/4800 = 85,94 mm

Teorema del trasporto

ala: 200·15³/12 + 3000·(107,5 − 85,94)² = 1,451 × 10⁶ mm⁴

anima: 18·100³/12 + 1800·(50 − 85,94)² = 3,825 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,451 × 10⁶ + 3,825 × 10⁶ = 5,276 × 10⁶ mm⁴ = 5,276 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 5,276 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 157,3 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

anima: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·175 + 3200·80)/11600 = 148,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·30³/12 + 8400·(175 − 148,8)² = 6,399 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·160³/12 + 3200·(80 − 148,8)² = 2,197 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,399 × 10⁶ + 2,197 × 10⁷ = 2,837 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 148,8 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·148,8/2,837 × 10⁷ = 157,3 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 157,3 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 67,6 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 75 MPa, R = √((−45)² + 40²) = 60,21 MPa

σ₁ = 135,2 MPa, σ₂ = 14,79 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120,4, 135,2, 14,79)/2 = 67,6 MPa

Risposta

τ_abs = 67,6 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 22,77 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Cilindro a parete sottile: tensione circonferenziale σ_h = pr/t e tensione assiale σ_a = pr/(2t); queste sono le tensioni principali nella parete.

Tensioni nella parete

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 1,5·200/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 12,5·sin²25° + 25·cos²25° = 22,77 MPa

Risposta

σ_n = 22,77 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 11,84 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 11,84 mm

Risposta

δ_max = 11,84 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,93 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 25000 N, w = 10 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 25000·3000³/(48·8,4 × 10¹²) = 1,674 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 1,256 mm

Sommale

δ_max = 1,674 + 1,256 = 2,93 mm

Risposta

δ_max = 2,93 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 6,867 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

Risposta

P_cr = 6,867 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 36,92 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 36,92 mm

Risposta

d = 36,92 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 162,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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