Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 30 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 600 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 300 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 300 kNasta: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 55 kNtratto 1: Ø40 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 5 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 75 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 3 m10 kN/m, 1–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 6 m35 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 200 × 20 mm, un’anima alta 220 mm e spessa 16 mm, e un’ala inferiore 270 × 16 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 200 × 20 mmanima: 16 × 220 mmala inferiore: 270 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 800 mm e spessore di parete di 8 mm contiene gas a una pressione relativa di 1 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 20° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 800 mmt = 8 mmp = 1 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 30 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 30 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,3321 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 300000·600/5,419 × 10⁸ = 0,3321 mm

Risposta

δ = 0,3321 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 486,3 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 43,77 MPa

σ₂ = 486,3 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 486,3 MPa

Risposta

σ_max = 486,3 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,274 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(80000·251327) = 0,0746 rad

φ = 0,0746·180/π = 4,274°

Risposta

φ = 4,274°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 22,11 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·75)) = 22,11 mm

Risposta

d = 22,11 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 50,83 kN, R₂ = 59,17 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 50,83, M_C = 96,67, M_D = 132,5 kN·m, M_E = 98,33, M_F = 54,17, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 132,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 2 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 48 kN, R₂ = 62 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 42, M_C = 72 kN·m, M_D = 55, M_E = 26, M_F = −15, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 72 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 25,66 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

anima: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·227,5 + 2200·110)/4900 = 174,7 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·15³/12 + 2700·(227,5 − 174,7)² = 7,565 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·220³/12 + 2200·(110 − 174,7)² = 1,81 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,565 × 10⁶ + 1,81 × 10⁷ = 2,566 × 10⁷ mm⁴ = 25,66 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 25,66 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 4000 mm², y = 246 mm

anima: A = 3520 mm², y = 126 mm

ala inferiore: A = 4320 mm², y = 8 mm

Baricentro

ȳ = (4000·246 + 3520·126 + 4320·8)/11840 = 123,5 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 200·20³/12 + 4000·122,5² = 6,017 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·220³/12 + 3520·2,514² = 1,422 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 270·16³/12 + 4320·115,5² = 5,771 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,017 × 10⁷ + 1,422 × 10⁷ + 5,771 × 10⁷

I_x = 1,321 × 10⁸ mm⁴ = 132,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 132,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 83,74 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·10, −10 − 80) = 167,5°

Angolo sull’elemento

θ_p = 83,74°

Risposta

θ_p = 83,74°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 47,08 MPa

Tensioni nella parete

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 1·400/8 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 25·sin²20° + 50·cos²20° = 47,08 MPa

Risposta

σ_n = 47,08 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 10,82 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 10,82 mm

Risposta

δ = 10,82 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4000⁴/(384·11000·11,11) = 1,091 × 10⁸ mm⁴

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 109,1 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 137,1 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1500 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/3000² = 137078 N = 137,1 kN

Risposta

P_cr = 137,1 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 127,6 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 2·5000 = 10000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 127,6 mm

Risposta

d = 127,6 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 313,4, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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