Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 85 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 60 mm, lunghezza 500 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 60 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 30 kW a 300 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta una coppia oraria M₀ = 20 kN·m in x = 3 m da A, e nessun altro carico. Trova il momento flettente M_x immediatamente a destra della coppia. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m orario, in 3 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 6 mw = 8 kN/m da 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 200 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 50 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 72 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 240 mmintaglio: 50 × 50 mmcentro del foro: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 110 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4,5 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 3 kNa = 4,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 30 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 95 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 95 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,6013 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/706,9 = 120,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 120,3/200000 = 0,0006013 = 601,3 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0006013·1000 mm = 0,6013 mm

Risposta

δ = 0,6013 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 12,52 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 60000·678584/1,15 × 10⁶ = 35410 N

Tensione

σ₂ = 35410/2827 = 12,52 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 12,52 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,868 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(80000·38350) = 0,03259 rad

φ = 0,03259·180/π = 1,868°

Risposta

φ = 1,868°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 39,32 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 30000/31,42 = 954,9 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39,32 mm

Risposta

d = 39,32 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 10 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Una coppia applicata fa saltare il diagramma del momento flettente di un valore pari alla coppia.

Reazioni vincolari

Momenti rispetto ad A, positivi in senso antiorario: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio verticale: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (verso l’alto)

R_A = −R_B = −3,333 kN (verso il basso)

Taglia immediatamente a destra della coppia

Ora la parte sinistra contiene R_A e la coppia.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,333·3 + 20 = 10 kN·m

Risposta

M_x = 10 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 28,44 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·4·2

R_B = 64/6 = 10,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 10,67 = 21,33 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21,33/8 = 2,667 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21,33·2,667 − 8·2,667²/2 = 28,44 kN·m

Risposta

M_max = 28,44 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 53,89 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

anima: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·270 + 4680·130)/6680 = 171,9 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·20³/12 + 2000·(270 − 171,9)² = 1,931 × 10⁷ mm⁴

anima: 18·260³/12 + 4680·(130 − 171,9)² = 3,459 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,931 × 10⁷ + 3,459 × 10⁷ = 5,389 × 10⁷ mm⁴ = 53,89 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 53,89 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 223,8 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (48000·120 − 2500·72)/(48000 − 2500) = 122,6 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·240³/12 + 48000·−2,637² = 230,7 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·50³/12 + 2500·−50,64² = 6,931 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 223,8 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 223,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 64,33 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/64,03 = −0,6247, sin 2θ_s = −(−50)/64,03 = 0,7809

2θ_s = atan2(50, −40) = 128,7°

Angolo sull’elemento

θ_s = 64,33°

verifica: θ_s − θ_p = 64,33 − (−70,67) = 135°

Risposta

θ_s = 64,33°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = 42,32 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −20·−0,866 + 50·0,5 = 42,32 MPa

Risposta

τ_θ = 42,32 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 3,013 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 3000 N, a = 4500 mm, b = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 3000·4500²·1500²/(3·2,52 × 10¹²·6000) = 3,013 mm

Risposta

δ_P = 3,013 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 2,016 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·1500³/(48·1,7 × 10¹²) = 1,241 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 0,7755 mm

Sommale

δ_max = 1,241 + 0,7755 = 2,016 mm

Risposta

δ_max = 2,016 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,205 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Risposta

P_cr = 4,205 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 41,84 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 41,84 mm

Risposta

d = 41,84 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 119,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials