Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 25 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 100 GPa). Entrambi sono lunghi 300 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 80 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 80 kNasta: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 50 mm, lunghezza 400 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 15 kW a 500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 15 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 6 m6 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 5 mw = 16 kN/m da 1 a 5 m

x₀ = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 300 mm con due ali verticali, alta 200 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 12 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 300 mmh = 200 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 5 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta una forza assiale di trazione di 180 kN insieme a un momento torcente di 1500 N·m. Sulla superficie dell’albero, trova la tensione tangenziale massima nel piano τ_max.

d = 50 mmF = 180 kNT = 1500 N·m

τ_max = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 10 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acciaio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 100 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/250. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 100 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 145 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 145 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,04812 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 80000·300/4,987 × 10⁸ = 0,04812 mm

Risposta

δ = 0,04812 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 12,58 MPa

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·490874/993529 = 24704 N

Tensione

σ₂ = 24704/1963 = 12,58 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 12,58 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 5,387 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Risposta

φ = 5,387°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 8,889 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 286479·30/966855 = 8,889 MPa

Risposta

τ_max = 8,889 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 42 kN, R₂ = 42 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 84, M_C = 168, M_D = 240 kN·m, M_E = 168, M_F = 84, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 240 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 2,6 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 16·4 = 64 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 16·4·3

R_B = 192/5 = 38,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 38,4 = 25,6 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 25,6/16 = 2,6 m

Risposta

x₀ = 2,6 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 61,62 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

due ali: A₂ = 2·12·188 = 4512 mm², y₂ = 12 + 188/2 = 106 mm

Baricentro

ȳ = (3600·6 + 4512·106)/8112 = 61,62 mm

Risposta

ȳ = 61,62 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 22,46 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

anima: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·205 + 1600·100)/3000 = 149 mm

Teorema del trasporto

ala: 140·10³/12 + 1400·(205 − 149)² = 4,402 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·200³/12 + 1600·(100 − 149)² = 9,175 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,402 × 10⁶ + 9,175 × 10⁶ = 1,358 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 210 − 149 = 61 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·61/1,358 × 10⁷ = 22,46 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 22,46 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 15,8 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 120 − −10) = 31,61°

Angolo sull’elemento

θ_p = 15,8°

Risposta

θ_p = 15,8°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 76,39 MPa

Tensioni in superficie

σ = F/A = 180000/(π·50²/4) = 180000/1963 = 91,67 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·50³) = 61,12 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 45,84 MPa

R = √(45,84² + 61,12²) = 76,39 MPa

Risposta

τ_max = 76,39 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 1,146 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 10000·2000³/(3·3,2 × 10¹³) = 0,8333 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 0,3125 mm

Sommale

δ = 0,8333 + 0,3125 = 1,146 mm

Risposta

δ = 1,146 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 200,7 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/100)^1/3 = 200,7 mm

Risposta

h_req = 200,7 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 39,98 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1500² = 39981 N = 39,98 kN

Risposta

P_cr = 39,98 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 102,9 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 102,9 mm

Risposta

d = 102,9 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 194,3, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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