Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 95 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in alluminio (diametro esterno 50 mm, diametro interno 25 mm, lunghezza 1,2 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 250 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 15 kW a 1450 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

10 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 0 m10 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 300 mm con due ali verticali, alta 60 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 14 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 300 mmh = 60 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 200 mm ha un intaglio rettangolare largo 50 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 60 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 200 mmintaglio: 50 × 20 mmcentro del foro: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 30 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 25° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 2 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 17 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 85 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 85 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 120,9 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/706,9 = 14,15 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 14,15/117000 = 0,0001209 = 120,9 µε

Risposta

ε = 120,9 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 4,513 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 75,6 MPa

σ₂ = 472,5 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75,6·1500/117000 = 0,9692 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 472,5·1500/200000 = 3,544 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,513 mm

Risposta

δ = 4,513 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 1,149 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Angolo di torsione

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(26000·575243) = 0,02006 rad

φ = 0,02006·180/π = 1,149°

Risposta

φ = 1,149°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 3,407 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 98786·30/869767 = 3,407 MPa

Risposta

τ_max = 3,407 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 3 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 20 kN, R₂ = 20 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 17,5, M_C = 30, M_D = 37,5 kN·m, M_E = 30, M_F = 17,5, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 37,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 26,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −13,33, M_D = −16,67, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −40 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 14,04 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 300·14 = 4200 mm², y₁ = 7 mm

due ali: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

Baricentro

ȳ = (4200·7 + 1288·37)/5488 = 14,04 mm

Risposta

ȳ = 14,04 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 78,3 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (24000·100 − 1000·60)/(24000 − 1000) = 101,7 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·200³/12 + 24000·−1,739² = 80,07 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

50·20³/12 + 1000·−41,74² = 1,775 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 78,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 78,3 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 94,6 MPa

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 60 − (−30)·0,6428 − (−20)·0,766 = 94,6 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 25,4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 94,6 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 117,9 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 20 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 87,08 MPa, σ₂ = −47,08 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(87,08² − 87,08·(−47,08) + (−47,08)²) = 117,9 MPa

Risposta

σ_vM = 117,9 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 15,62 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 11,36 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,008521 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,62 mm

Risposta

δ_B = 15,62 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·70000·5,556) = 6,429 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 6,429 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 21,7 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·4000 = 8000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/8000² = 21704 N = 21,7 kN

Risposta

P_cr = 21,7 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 89,15 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 89,15 mm

Risposta

d = 89,15 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 269,2, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials