Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 80 kNtratto 1: Ø35 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in ottone lungo 2,5 m è sollecitato da un momento torcente di 1500 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 1,5°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 1500 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 30 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 100 N·m agisce in B, a 1,2 m da A, e un momento torcente di 200 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 2,5 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1,5 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 55 kN in 1,5 mw = 2 kN/m da 0 a 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 5 mw = 12 kN/m da 2 a 5 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 200 mm ha un foro circolare di diametro 40 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 140 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmcentro del foro: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = −10 MPa, con σ_z = 0. Trova la tensione tangenziale massima assoluta τ_abs nel punto (considerando tutti i piani in tre dimensioni).

σ_x = 80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 5329 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 373/70000 = 0,005329 = 5329 µε

Risposta

ε = 5329 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 707,4 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 83,15 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 707,4 MPa

Risposta

σ_max = 707,4 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 78,21 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·2500/(39000·0,02618) = 3,673 × 10⁶ mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 78,21 mm

Risposta

d = 78,21 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 37,73 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 200 N·m

τ_max = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

Risposta

τ_max = 37,73 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −75,25 kN·m

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −55·1 = −55 kN·m

w: −2·4,5²/2 = −20,25 kN·m

M_x = −55 − 20,25 = −75,25 kN·m

Risposta

M_x = −75,25 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 26,46 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN, applicata in x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·3·3,5

R_B = 126/5 = 25,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 25,2 = 10,8 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 10,8/12 = 2,9 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 10,8·2,9 − 12·0,9²/2 = 26,46 kN·m

Risposta

M_max = 26,46 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (20000·100 − 1257·140)/(20000 − 1257) = 97,32 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·200³/12 + 20000·2,682² = 66,81 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·42,68² = 2,415 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 64,4 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 87,72 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

anima: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·267,5 + 3120·130)/5520 = 189,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 160·15³/12 + 2400·(267,5 − 189,8)² = 1,454 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·260³/12 + 3120·(130 − 189,8)² = 2,873 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,454 × 10⁷ + 2,873 × 10⁷ = 4,327 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 189,8 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·189,8/4,327 × 10⁷ = 87,72 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 87,72 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_abs = 61,18 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. In tre dimensioni la tensione tangenziale massima assoluta è (σ_max − σ_min)/2 su tutte e tre le tensioni principali; nello stato piano di tensione la terza è nulla.

Tensioni principali nel piano

C = 100 MPa, R = √((−20)² + (−10)²) = 22,36 MPa

σ₁ = 122,4 MPa, σ₂ = 77,64 MPa, σ_z = 0

Il maggiore dei tre cerchi

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44,72, 122,4, 77,64)/2 = 61,18 MPa

Risposta

τ_abs = 61,18 MPa

Qui governa il cerchio fuori dal piano: il massimo assoluto è maggiore del massimo nel piano R.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 112,7 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −20 MPa, R = 64,03 MPa

σ₁ = 44,03 MPa, σ₂ = −84,03 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(44,03² − 44,03·(−84,03) + (−84,03)²) = 112,7 MPa

Risposta

σ_vM = 112,7 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 22,61 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 22,61 mm

Risposta

δ_max = 22,61 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,465 × 10⁷ mm⁴

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 14,65 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 28,32 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2800² = 28325 N = 28,32 kN

Risposta

P_cr = 28,32 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 2,429 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/533,3² = 2,429 MPa

Risposta

σ_cr = 2,429 MPa

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