Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 60 kNd = 10 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 95 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 50 mm, diametro interno 30 mm, lunghezza 1 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 750 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio trasmette 10 kW a 500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 50 MPa e la torsione non deve superare 0,75° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 5 kN/m da 0 a 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mP = 10 kN in 2 mw = 6 kN/m da 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 120 mm e spesse 16 mm, un’altezza complessiva di 420 mm e un’anima spessa 8 mm. Trova il suo modulo di resistenza elastico S_x per la flessione attorno all’asse baricentrico orizzontale x.

B = 120 mmH = 420 mmt_f = 16 mmt_w = 8 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 40 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 52,5 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 150 mmintaglio: 40 × 20 mmcentro del foro: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 40° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 50° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 5 mw = 6 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 100 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 100 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 15,28 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 60·1000/78,54 = 763,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 763,9/100000 = 0,007639 = 7639 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,007639·2000 mm = 15,28 mm

Risposta

δ = 15,28 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,772 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·1500/100000 = 2,016 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·500/200000 = 0,756 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,772 mm

Risposta

δ = 2,772 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,063 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Angolo di torsione

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(39000·534071) = 0,03601 rad

φ = 0,03601·180/π = 2,063°

Risposta

φ = 2,063°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 48,9 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diametro per la resistenza

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,9 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(26,89, 48,9) = 48,9 mm

Risposta

d = 48,9 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 20 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 15·4 − 5·4·2 = 20 kN·m

Risposta

M_x = 20 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 37,33 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·2 + 6·6·3

R_B = 128/6 = 21,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 21,33 = 24,67 kN

Taglia in x = 2 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 24,67·2 − 6·2·1 = 37,33 kN·m

Risposta

M_x = 37,33 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: S_x = 932 × 10³ mm³

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna.

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 420 − 2·16 = 388 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·420³ − 112·388³)/12

I_x = 1,957 × 10⁸ mm⁴

Modulo di resistenza

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 1,957 × 10⁸/210

S_x = 931952 mm³ = 932 × 10³ mm³

Risposta

S_x = 932 × 10³ mm³

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 41,74 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (22500·75 − 800·52,5)/(22500 − 800) = 75,83 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,8295² = 42,2 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

40·20³/12 + 800·−23,33² = 0,4621 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 41,74 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 41,74 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = −40,86 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = −20 − (−50)·0,1736 − 30·0,9848 = −40,86 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 0,8618 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −40 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = −40,86 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 11,89 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 20 + −10·−0,1736 + −10·0,9848 = 11,89 MPa

Risposta

σ_θ = 11,89 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 11,51 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,67 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,00767 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,51 mm

Risposta

δ_B = 11,51 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 18,75 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·5/8 = 11,25 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 75 − 56,25 = 18,75 kN·m

Risposta

M_A = 18,75 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 39,98 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/1500² = 39981 N = 39,98 kN

Risposta

P_cr = 39,98 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 41,95 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 41,95 mm

Risposta

d = 41,95 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 95,36, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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