Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 20 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 100 mm, diametro interno 50 mm, E = 70 GPa). Entrambi sono lunghi 800 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 150 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 150 kNasta: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 75 kNtratto 1: Ø35 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 50 kW a 500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 0,75° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

35 kN @ 6 m20 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 5,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 45 kN in 6 mw = 12 kN/m da 0 a 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 120 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 10 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 160 mmh = 120 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 70 MPa e σᵧ = 70 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 130 MPa?

σ_x = 70 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 0 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 460 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = 100 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati uguali P nei terzi della luce (a L/3 da ciascun appoggio). Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 26 kNL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Deve portare 135 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 135 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,2525 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 150000·800/4,752 × 10⁸ = 0,2525 mm

Risposta

δ = 0,2525 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,527 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,95 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 77,95·500/117000 = 0,3331 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·1000/200000 = 1,194 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,527 mm

Risposta

δ = 1,527 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 9,237 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·79522) = 0,1612 rad

φ = 0,1612·180/π = 9,237°

Risposta

φ = 9,237°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 55,21 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Diametro per la resistenza

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 55,21 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(40,18, 55,21) = 55,21 mm

Risposta

d = 55,21 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 24,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 48,33, M_C = 96,67, M_D = 145 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 145 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 144,4 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·6 + 12·8·4

R_B = 654/8 = 81,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 81,75 = 59,25 kN

Taglia in x = 5,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 59,25·5,5 − 12·5,5·2,75 = 144,4 kN·m

Risposta

M_x = 144,4 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 39,74 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·10 = 1600 mm², y₁ = 5 mm

due ali: A₂ = 2·10·110 = 2200 mm², y₂ = 10 + 110/2 = 65 mm

Baricentro

ȳ = (1600·5 + 2200·65)/3800 = 39,74 mm

Risposta

ȳ = 39,74 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 47,68 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

anima: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·265 + 3120·130)/4720 = 175,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 160·10³/12 + 1600·(265 − 175,8)² = 1,275 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·260³/12 + 3120·(130 − 175,8)² = 2,411 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,275 × 10⁷ + 2,411 × 10⁷ = 3,686 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 175,8 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·175,8/3,686 × 10⁷ = 47,68 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 47,68 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 60 MPa

Raggio richiesto

C = (70 + 70)/2 = 70 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 70 = 60 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 0²) = 60 MPa

Risposta

τ_xy = 60 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 3,477

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 50 MPa, R = 70,71 MPa

σ₁ = 120,7 MPa, σ₂ = −20,71 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(120,7² − 120,7·(−20,71) + (−20,71)²) = 132,3 MPa

n = 460/132,3 = 3,477

Risposta

n = 3,477

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 13,54 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·9,35 × 10¹⁰) = 13,54 mm

Risposta

δ = 13,54 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 48,06 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Un carico a L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 24,03 mm

Somma entrambi i carichi

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 48,06 mm

Risposta

δ_max = 48,06 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 47 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/700² = 46998 N = 47 kN

Risposta

P_cr = 47 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 81,71 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm

Risposta

d = 81,71 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 195,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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