Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 95 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 100 kW a 1800 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,5 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 0,5 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 80 kN in 0,5 mw = 3 kN/m da 0 a 3 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 0 m10 kN @ 12 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 84 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 240 mmintaglio: 30 × 30 mmcentro del foro: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 30° in senso orario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = −80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = −40 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 9 kNa = 1 mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico concentrato P in mezzeria. EI è costante. Trova la reazione R_B al puntello.

L = 5 mP = 80 kN in 2,5 m

R_B = kN

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 303,2 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 21,22/70000 = 0,0003032 = 303,2 µε

Risposta

ε = 303,2 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 6,895 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 193,5 MPa

σ₂ = 302,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 193,5·2000/100000 = 3,871 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302,4·2000/200000 = 3,024 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,895 mm

Risposta

δ = 6,895 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 6,928 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

Risposta

φ = 6,928°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 36,35 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 530,5 N·m = 530516 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·530516/(π·60·0,9375)) = 36,35 mm

d_i = 0,5·36,35 = 18,18 mm

Risposta

d_o = 36,35 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 35,58 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −53,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −3·3²/2 = −13,5 kN·m

M_A = −40 − 13,5 = −53,5 kN·m

Risposta

M_A = −53,5 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 2 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 78 kN, R₂ = 18 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −100 kN·m, M_C = −56, M_D = −36, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −100 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 56,93 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

anima: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·285 + 3920·140)/6320 = 195,1 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·10³/12 + 2400·(285 − 195,1)² = 1,943 × 10⁷ mm⁴

anima: 14·280³/12 + 3920·(140 − 195,1)² = 3,75 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,943 × 10⁷ + 3,75 × 10⁷ = 5,693 × 10⁷ mm⁴ = 56,93 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 56,93 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (28800·120 − 900·84)/(28800 − 900) = 121,2 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·240³/12 + 28800·−1,161² = 138,3 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

30·30³/12 + 900·−37,16² = 1,31 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 34,82 MPa

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = −15 − (−65)·0,5 − 20·(−0,866) = 34,82 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = −64,82 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 34,82 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 124,9 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −60 MPa, R = 63,25 MPa

σ₁ = 3,246 MPa, σ₂ = −123,2 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(3,246² − 3,246·(−123,2) + (−123,2)²) = 124,9 MPa

Risposta

σ_vM = 124,9 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 32,09 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 9000 N, a = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·1000³/(3·9,35 × 10¹⁰) = 32,09 mm

Risposta

δ_P = 32,09 mm

12.Freccia della trave

Risposta: R_B = 25 kN

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Risposta

R_B = 25 kN

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,284 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·3000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4,284 kN

Risposta

P_cr = 4,284 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 17,27 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Risposta

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials