Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di ottone, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 110 kNtratto 1: Ø30 mm, 1,5 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 25 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 100 N·m è applicato in C, a 1,5 m da A e a 0,5 m da B. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 25 mmT₀ = 100 N·ma = 1,5 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

50 kN @ 6 m10 kN/m, 2–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 8 mw = 4 kN/m da 3 a 8 m

x₀ = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 150 mm e diametro interno d = 142 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 150 mmd = 142 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 35 MPa a trazione e 150 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente positivo M_allow che la trave può sopportare.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = 150 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (acciaio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1 m dall’appoggio B. Trova la freccia δ_mid in mezzeria.

P = 15 kNb = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 50 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 50 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1120 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 112/100000 = 0,00112 = 1120 µε

Risposta

ε = 1120 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 547,1 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 155,6 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 547,1 MPa

Risposta

σ_max = 547,1 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,217 °

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(39000·79522) = 0,03869 rad

φ = 0,03869·180/π = 2,217°

Risposta

φ = 2,217°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 24,45 MPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·0,5/2 = 25 N·m

T_B = 100·1,5/2 = 75 N·m

Tensione tangenziale massima

Governa il maggiore dei due momenti torcenti (stesso diametro).

τ_max = 16·75000/(π·25³) = 24,45 MPa

Risposta

τ_max = 24,45 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 66,67 kN, R₂ = 83,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 133,3, M_C = 246,7, M_D = 320 kN·m, M_E = 253,3, M_F = 146,7, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 320 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 4,563 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, applicata in x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·5·5,5

R_B = 110/8 = 13,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 13,75 = 6,25 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 6,25/4 = 4,563 m

Risposta

x₀ = 4,563 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 51,64 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 1835 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,892 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(4,892 × 10⁶/1835) = 51,64 mm

Risposta

r = 51,64 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 10,6 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (9000·235 + 3960·110)/12960 = 196,8 mm

bordo superiore: c = 250 − 196,8 = 53,19 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 300·30³/12 + 9000·38,19² + 18·220³/12 + 3960·86,81² = 5,962 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento positivo: la parte superiore è compressa, quella inferiore tesa.

bordo superiore: M = 150·5,962 × 10⁷/53,19 = 168,1 kN·m

bordo inferiore: M = 35·5,962 × 10⁷/196,8 = 10,6 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 10,6 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 10,6 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 44,72 MPa

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−50 − 30)/2)² + 20²) = 44,72 MPa

Risposta

τ_max = 44,72 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 2,031

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 90 MPa, R = 84,85 MPa

σ₁ = 174,9 MPa, σ₂ = 5,147 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(174,9² − 174,9·5,147 + 5,147²) = 172,3 MPa

n = 350/172,3 = 2,031

Risposta

n = 2,031

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 1,708 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,138 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001138 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,708 mm

Risposta

δ_B = 1,708 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_mid = 5,729 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Freccia in mezzeria

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 15000·1000·(3·4000² − 4·1000²)/(48·2,4 × 10¹²) = 5,729 mm

Risposta

δ_mid = 5,729 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 9,87 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·6000 = 6000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/6000² = 9870 N = 9,87 kN

Risposta

P_cr = 9,87 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 82,55 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 82,55 mm

Risposta

d = 82,55 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 290,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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