Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 40 mm, lunghezza 400 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 75 kW a 1450 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,75 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 75 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 4 kN/m da 0 a 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 2,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 15 kN in 3 mw = 5 kN/m da 0 a 10 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 260 mm con due ali verticali, alta 120 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 8 mm. Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b = 260 mmh = 120 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 20 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 600 mm e spessore di parete di 8 mm contiene gas a una pressione relativa di 0,8 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 60° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 600 mmt = 8 mmp = 0,8 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 140 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 140 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 710,5 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/201,1 = 49,74 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,74/70000 = 0,0007105 = 710,5 µε

Risposta

ε = 710,5 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 17,99 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·345575/764454 = 22603 N

Tensione

σ₂ = 22603/1257 = 17,99 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 17,99 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 10,13 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·79522) = 0,1768 rad

φ = 0,1768·180/π = 10,13°

Risposta

φ = 10,13°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 39,44 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 493,9 N·m = 493929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·493929/(π·60·0,6836)) = 39,44 mm

d_i = 0,75·39,44 = 29,58 mm

Risposta

d_o = 39,44 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 34,74 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 13,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 12·1,5 − 4·1,5·0,75 = 13,5 kN·m

Risposta

M_x = 13,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 73,13 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·3 + 5·10·5

R_B = 295/10 = 29,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 29,5 = 35,5 kN

Taglia in x = 2,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 35,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 73,13 kN·m

Risposta

M_x = 73,13 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 5,35 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 260·8 = 2080 mm², y₁ = 4 mm

due ali: A₂ = 2·8·112 = 1792 mm², y₂ = 8 + 112/2 = 64 mm

Baricentro

ȳ = (2080·4 + 1792·64)/3872 = 31,77 mm

Teorema del trasporto

base: 260·8³/12 + 2080·(4 − 31,77)² = 1,615 × 10⁶ mm⁴

due ali: 2·8·112³/12 + 1792·(64 − 31,77)² = 3,735 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,615 × 10⁶ + 3,735 × 10⁶

I_x = 5,35 × 10⁶ mm⁴ = 5,35 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 5,35 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 47,2 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

anima: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·265 + 3120·130)/4920 = 179,4 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·10³/12 + 1800·(265 − 179,4)² = 1,321 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·260³/12 + 3120·(130 − 179,4)² = 2,519 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,321 × 10⁷ + 2,519 × 10⁷ = 3,839 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 270 − 179,4 = 90,61 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·90,61/3,839 × 10⁷ = 47,2 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 47,2 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 42,72 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((70 − 100)/2)² + 40²) = 42,72 MPa

Risposta

τ_max = 42,72 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 18,75 MPa

Tensioni nella parete

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,8·300/8 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 15·sin²60° + 30·cos²60° = 18,75 MPa

Risposta

σ_n = 18,75 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,263 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 1,263 mm

Risposta

δ_max = 1,263 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·6000⁴/(384·70000·16,67) = 2,893 × 10⁸ mm⁴

I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 289,3 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 55,52 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/2000² = 55517 N = 55,52 kN

Risposta

P_cr = 55,52 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 85,97 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·140000 = 420000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 85,97 mm

Risposta

d = 85,97 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 97,71, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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