Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,3 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 60 kNtratto 1: Ø40 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in ottone lungo 0,5 m è sollecitato da un momento torcente di 200 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 2°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 200 N·mL = 0,5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 1000 N·m agisce in B, a 1 m da A, e un momento torcente di 100 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 0,8 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 60 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 6 m8 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 40 kN in 7 mw = 5 kN/m da 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 200 × 12 mm, un’anima alta 400 mm e spessa 10 mm, e un’ala inferiore 280 × 12 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 200 × 12 mmanima: 10 × 400 mmala inferiore: 280 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 25° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −30 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 50° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 4 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 20 kNa = 4 mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 2,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 21 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 36,09 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,3/8,311 × 10⁻⁶ = 36095 N = 36,09 kN

Risposta

P = 36,09 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,631 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·2000/70000 = 1,364 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 530,5·500/117000 = 2,267 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,631 mm

Risposta

δ = 3,631 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 29,41 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·500/(39000·0,03491) = 73456 mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 29,41 mm

Risposta

d = 29,41 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 0,9468 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 1000 = −900 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −900000·1000/(39000·1,272 × 10⁶) = −0,01814 rad

φ_BC = 100000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,001612 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = −0,01814 + 0,001612 = −0,01653 rad → |φ_C| = 0,9468°

Risposta

φ_C = 0,9468°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 23,5 kN, R₂ = 23,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 47, M_C = 94, M_D = 125 kN·m, M_E = 94, M_F = 47, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 125 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 60 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 5·8·4

R_B = 440/8 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 55 = 25 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 25·4 − 5·4·2 = 60 kN·m

Risposta

M_x = 60 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 37,38 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

anima: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·255 + 1920·120)/9120 = 226,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 240·30³/12 + 7200·(255 − 226,6)² = 6,356 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·240³/12 + 1920·(120 − 226,6)² = 3,103 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,356 × 10⁶ + 3,103 × 10⁷ = 3,738 × 10⁷ mm⁴ = 37,38 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 37,38 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 293,8 × 10⁶ mm⁴

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2400 mm², y = 418 mm

anima: A = 4000 mm², y = 212 mm

ala inferiore: A = 3360 mm², y = 6 mm

Baricentro

ȳ = (2400·418 + 4000·212 + 3360·6)/9760 = 191,7 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 200·12³/12 + 2400·226,3² = 1,229 × 10⁸ mm⁴

anima: 10·400³/12 + 4000·20,26² = 5,498 × 10⁷ mm⁴

ala inferiore: 280·12³/12 + 3360·185,7² = 1,16 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,229 × 10⁸ + 5,498 × 10⁷ + 1,16 × 10⁸

I_x = 2,938 × 10⁸ mm⁴ = 293,8 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 293,8 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = −83,46 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = −15 − 35·0,6428 − 60·0,766 = −83,46 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 53,46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −30 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = −83,46 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = 31,57 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−25·0,9848 + −40·−0,1736 = 31,57 MPa

Risposta

τ_θ = 31,57 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 1,871 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 20000 N, a = 4000 mm, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 20000·4000²·1000²/(3·1,14 × 10¹³·5000) = 1,871 mm

Risposta

δ_P = 1,871 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 21,99 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 21000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 21,99 mm

Risposta

δ_max = 21,99 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 98,7 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1500² = 98696 N = 98,7 kN

Risposta

P_cr = 98,7 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 197,4 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Risposta

σ_cr = 197,4 MPa

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