Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di ottone (diametro 40 mm, lunghezza 300 mm, E = 100 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø40 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 15 kNtratto 1: Ø25 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 30 mm e lunghezza 0,5 m; il tratto BC ha diametro 25 mm e lunghezza 0,8 m. Un momento torcente di 200 N·m agisce all’estremo libero C. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 0,8 m

τ_max = MPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 1800 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 1800 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il taglio V_x nella sezione x = 5,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 3 kN/m da 0 a 6 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova la distanza x₀ da A alla sezione in cui il momento flettente è massimo.

L = 6 mw = 12 kN/m da 2 a 4 m

x₀ = m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 100 mm × 240 mm ha un foro circolare di diametro 30 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 144 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 100 mmh = 240 mmd = 30 mmcentro del foro: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = −70 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 125,7 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/3,979 × 10⁻⁶ = 125664 N = 125,7 kN

Risposta

P = 125,7 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 47,75 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 47,75 MPa

Risposta

σ_max = 47,75 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 65,19 MPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Tensione in ciascun tratto

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·30³) = 37,73 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·25³) = 65,19 MPa

Risposta

τ_max = 65,19 MPa

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 4,222 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 397887·40/3,77 × 10⁶ = 4,222 MPa

Risposta

τ_max = 4,222 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: V_x = −7,5 kN

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Taglia in x = 5,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

V = R_A − (tutti i carichi verso il basso a sinistra del taglio)

V_x = 9 − 3·5,5 = −7,5 kN

Risposta

V_x = −7,5 kN

6.Taglio e momento flettente

Risposta: x₀ = 3 m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 12/12 = 3 m

Risposta

x₀ = 3 m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (24000·120 − 706,9·144)/(24000 − 706,9) = 119,3 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

100·240³/12 + 24000·0,7283² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·24,73² = 0,472 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 114,7 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 26,74 MPa

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

anima: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·150 + 1680·70)/6880 = 130,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 260·20³/12 + 5200·(150 − 130,5)² = 2,158 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·140³/12 + 1680·(70 − 130,5)² = 8,886 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,158 × 10⁶ + 8,886 × 10⁶ = 1,104 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 160 − 130,5 = 29,53 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·29,53/1,104 × 10⁷ = 26,74 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 26,74 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 20,62 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − 40)/2)² + 20²) = 20,62 MPa

Risposta

τ_max = 20,62 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −40,78 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −55 + −15·0,766 + −40·−0,6428 = −40,78 MPa

Risposta

σ_θ = −40,78 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 9,04 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 9,04 mm

Risposta

δ_max = 9,04 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,712 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 4,205 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

Risposta

P_cr = 4,205 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 27,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7,5 = 266,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Risposta

σ_cr = 27,76 MPa

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