Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 150 MPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 100 mm, diametro interno 70 mm, E = 100 GPa, tensione ammissibile 60 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 12 mm viene torto da un momento torcente di 75 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 250 mm ruotano di 13,53° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 75 N·md = 12 mmL = 250 mmφ = 13,53°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 50 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 4 m15 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 10 mw = 10 kN/m da 6 a 10 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 300 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 30 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 210 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 300 mmintaglio: 30 × 30 mmcentro del foro: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 50 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 50 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 30 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w e un carico concentrato P in mezzeria. Usando la sovrapposizione, trova la freccia in mezzeria δ_max.

P = 12 kNw = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1895 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/70000 = 0,001895 = 1895 µε

Risposta

ε = 1895 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 391,1 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·4006 = 6,519 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00075, 0,0006) = 0,0006 (ottone)

Carico massimo

P_max = 0,0006·6,519 × 10⁸ = 391128 N = 391,1 kN

Risposta

P_max = 391,1 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 39 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 13,53·π/180 = 0,2361 rad

Modulo di taglio

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(2036·0,2361) = 39003 MPa

G = 39 GPa

Risposta

G = 39 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 26,89 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 10000/52,36 = 191 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

Risposta

d = 26,89 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 65 kN, R₂ = 85 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 57,5, M_C = 100, M_D = 127,5, M_E = 140 kN·m, M_F = 77,5, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = 140 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 51,2 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, applicata in x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·4·8

R_B = 320/10 = 32 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 32 = 8 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 6) = 0

x₀ = 6 + 8/10 = 6,8 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 6)²/2 = 8·6,8 − 10·0,8²/2 = 51,2 kN·m

Risposta

M_max = 51,2 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 21,54 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

anima: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·175 + 2560·80)/7960 = 144,4 mm

Teorema del trasporto

ala: 180·30³/12 + 5400·(175 − 144,4)² = 5,446 × 10⁶ mm⁴

anima: 16·160³/12 + 2560·(80 − 144,4)² = 1,609 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,446 × 10⁶ + 1,609 × 10⁷ = 2,154 × 10⁷ mm⁴ = 21,54 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 21,54 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (45000·150 − 900·210)/(45000 − 900) = 148,8 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·300³/12 + 45000·1,224² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

30·30³/12 + 900·61,22² = 3,441 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 334,1 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 53,85 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((50 − 10)/2)² + 50²) = 53,85 MPa

Risposta

τ_max = 53,85 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 73,84 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 65 + 35·0,5 + 10·−0,866 = 73,84 MPa

Risposta

σ_θ = 73,84 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 5,556 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 30000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 30000·2000²·1000²/(3·2,4 × 10¹²·3000) = 5,556 mm

Risposta

δ_P = 5,556 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,023 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 12000 N, w = 10 N/mm, L = 2000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·2000³/(48·3,99 × 10¹²) = 0,5013 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 0,5221 mm

Sommale

δ_max = 0,5013 + 0,5221 = 1,023 mm

Risposta

δ_max = 1,023 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 19,9 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2500² = 19897 N = 19,9 kN

Risposta

P_cr = 19,9 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 179 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Risposta

σ_cr = 179 MPa

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