Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 50 kNd = 16 mmL = 3 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di ottone (diametro 50 mm, lunghezza 200 mm, E = 100 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 80 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: ottone, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in alluminio (diametro esterno 75 mm, diametro interno 38 mm, lunghezza 0,8 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 500 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 500 N·md_o = 75 mmd_i = 38 mmL = 0,8 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 30 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 250 N·m è applicato in C, a 3 m da A e a 1,5 m da B. Trova il momento torcente di reazione T_A alla parete A.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 3 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 1 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 50 kN in 1,5 mw = 8 kN/m da 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 100 mm con due ali verticali, alta 100 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 12 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 100 mmh = 100 mmt = 12 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I simmetrica ha ali larghe 130 mm e spesse 14 mm, un’altezza complessiva di 220 mm e un’anima spessa 6 mm. Porta un momento flettente di 20 kN·m attorno all’asse x. Trova il valore della tensione di flessione σ_j all’attacco tra anima e ala superiore.

B = 130 mmH = 220 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 20 kN·m

σ_j = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −40 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 150 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 50° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1,5 m da A. Trova la freccia δ_B all’estremo libero B.

P = 24 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 120 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 120 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,73 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/200000 = 0,001243 = 1243 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001243·3000 mm = 3,73 mm

Risposta

δ = 3,73 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 34,92 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 80000·981748/1,145 × 10⁶ = 68571 N

Tensione

σ₂ = 68571/1963 = 34,92 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 34,92 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,3038 °

Momento d’inerzia polare

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Angolo di torsione

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·800/(26000·2,902 × 10⁶) = 0,005302 rad

φ = 0,005302·180/π = 0,3038°

Risposta

φ = 0,3038°

4.Torsione degli alberi

Risposta: T_A = 83,33 N·m

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·1,5/4,5 = 83,33 N·m

T_B = 250·3/4,5 = 166,7 N·m

Risposta

T_A = 83,33 N·m

5.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 52,83 kN, R₂ = 14,17 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 52,83 kN·m, M_C = 48,67, M_D = 40,5, M_E = 28,33, M_F = 14,17, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = 52,83 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 61,88 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 8·4·2

R_B = 139/4 = 34,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 34,75 = 47,25 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 47,25·1,5 − 8·1,5·0,75 = 61,88 kN·m

Risposta

M_x = 61,88 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 37,88 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 100·12 = 1200 mm², y₁ = 6 mm

due ali: A₂ = 2·12·88 = 2112 mm², y₂ = 12 + 88/2 = 56 mm

Baricentro

ȳ = (1200·6 + 2112·56)/3312 = 37,88 mm

Risposta

ȳ = 37,88 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_j = 45,48 MPa

Rettangolo esterno meno i due vuoti laterali

I due vuoti insieme sono larghi (B − t_w) e alti h_w = H − 2t_f, e hanno lo stesso asse x.

h_w = 220 − 2·14 = 192 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·220³ − 124·192³)/12

I_x = 4,222 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

y = 110 − 14 = 96 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·96/4,222 × 10⁷ = 45,48 MPa

Risposta

σ_j = 45,48 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 70,71 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−40 − 60)/2)² + 50²) = 70,71 MPa

Risposta

τ_max = 70,71 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 120,9 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 100 + 50·−0,1736 + 30·0,9848 = 120,9 MPa

Risposta

σ_θ = 120,9 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_B = 11,48 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 24000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Freccia all’estremo libero

Freccia sotto il carico più la rotazione sotto il carico per la lunghezza restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4,592 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,004592 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,48 mm

Risposta

δ_B = 11,48 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 92,05 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·3000⁴/(384·11000·8,333) = 9,205 × 10⁷ mm⁴

I_req = 92,05 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 92,05 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 7,311 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·6000 = 12000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/12000² = 7311 N = 7,311 kN

Risposta

P_cr = 7,311 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 77,13 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 77,13 mm

Risposta

d = 77,13 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 103,7, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials