Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di alluminio sotto il carico assiale.

P = 70 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 80 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 0,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 15 kW a 750 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,75 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 40 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 0,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 3 kN/m da 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

15 kN @ 0 m40 kN @ 6 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 160 mm con due ali verticali, alta 200 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 160 mmh = 200 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 40 MPa a trazione e 90 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo M_allow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 50 MPa e σᵧ = 80 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 125 MPa?

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 350 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di Tresca (massima tensione tangenziale).

σ_x = −80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 26,53 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/113,1 = 618,9 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 618,9/70000 = 0,008842 = 8842 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,008842·3000 mm = 26,53 mm

Risposta

δ = 26,53 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 397,9 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 397,9 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 397,9 MPa

Risposta

σ_max = 397,9 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,63 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·251327) = 0,04591 rad

φ = 0,04591·180/π = 2,63°

Risposta

φ = 2,63°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 32,89 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·40·0,6836)) = 32,89 mm

d_i = 0,75·32,89 = 24,67 mm

Risposta

d_o = 32,89 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 28,97 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 2,625 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Taglia in x = 0,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 6·0,5 − 3·0,5·0,25 = 2,625 kN·m

Risposta

M_x = 2,625 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: F (x = 5 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 16,25 kN, R₂ = 68,75 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −13,75, M_D = −12,5, M_E = −11,25, M_F = −40 kN·m, M_G = 0

Risposta

Punto F: M_F = −40 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 77,7 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 160·16 = 2560 mm², y₁ = 8 mm

due ali: A₂ = 2·16·184 = 5888 mm², y₂ = 16 + 184/2 = 108 mm

Baricentro

ȳ = (2560·8 + 5888·108)/8448 = 77,7 mm

Risposta

ȳ = 77,7 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 27,25 kN·m

Baricentro

ȳ = (7200·315 + 3000·150)/10200 = 266,5 mm

bordo superiore: c = 330 − 266,5 = 63,53 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 240·30³/12 + 7200·48,53² + 10·300³/12 + 3000·116,5² = 8,069 × 10⁷ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.

bordo superiore: M = 40·8,069 × 10⁷/63,53 = 50,81 kN·m

bordo inferiore: M = 90·8,069 × 10⁷/266,5 = 27,25 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 27,25 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 27,25 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 58,09 MPa

Raggio richiesto

C = (50 + 80)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 65 = 60 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 15²) = 58,09 MPa

Risposta

τ_xy = 58,09 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 3,796

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = −45 MPa, R = 46,1 MPa

σ₁ = 1,098 MPa, σ₂ = −91,1 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 92,2 MPa

n = 350/92,2 = 3,796

Risposta

n = 3,796

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 1,106 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,106 mm

Risposta

δ_max = 1,106 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11,11) = 6,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 24,22 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Risposta

P_cr = 24,22 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 12,34 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Risposta

σ_cr = 12,34 MPa

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