Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di acciaio sotto il carico assiale.

P = 65 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 65 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 500 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio trasmette 50 kW a 1450 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 50 MPa e la torsione non deve superare 0,5° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

55 kN @ 6 m12 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 30 kN in 2,5 mw = 6 kN/m da 0 a 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 290 mm e diametro interno d = 258 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 290 mmd = 258 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una trave in ghisa ha la sezione a T mostrata, con l’ala in alto. Le tensioni ammissibili sono 30 MPa a trazione e 100 MPa a compressione. Trova il massimo momento flettente negativo M_allow che la trave può sopportare (indicane il valore assoluto).

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 40 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 2,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 10 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (acciaio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 4,041 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 65·1000/201,1 = 323,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 323,3/200000 = 0,001616 = 1616 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001616·2500 mm = 4,041 mm

Risposta

δ = 4,041 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,372 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,56 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,56·1000/200000 = 0,3378 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 206,9·1000/200000 = 1,035 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,372 mm

Risposta

δ = 1,372 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 14,37 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 500·1000·500/(26000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

Risposta

φ = 14,37°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 62,01 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diametro per la resistenza

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

d_τ = ∛(16·329286/(π·50)) = 32,25 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·329286/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 62,01 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(32,25, 62,01) = 62,01 mm

Risposta

d = 62,01 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 99,5 kN, R₂ = 99,5 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 175, M_C = 302, M_D = 381 kN·m, M_E = 302, M_F = 175, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 381 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 14,63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2,5 + 6·4·2

R_B = 123/4 = 30,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 54 − 30,75 = 23,25 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 23,25·3,5 − 30·(3,5 − 2,5) − 6·3,5·1,75 = 14,63 kN·m

Risposta

M_x = 14,63 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 97,04 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 13773 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,297 × 10⁸ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(1,297 × 10⁸/13773) = 97,04 mm

Risposta

r = 97,04 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: M_allow = 4,769 kN·m

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Baricentro

ȳ = (3600·135 + 960·60)/4560 = 119,2 mm

bordo superiore: c = 150 − 119,2 = 30,79 mm

Momento d’inerzia della sezione

I = 120·30³/12 + 3600·15,79² + 8·120³/12 + 960·59,21² = 5,685 × 10⁶ mm⁴

Momento ammesso da ciascun bordo

Momento negativo: la parte superiore è tesa, quella inferiore compressa.

bordo superiore: M = 30·5,685 × 10⁶/30,79 = 5,539 kN·m

bordo inferiore: M = 100·5,685 × 10⁶/119,2 = 4,769 kN·m

Valore determinante

M_allow = min = 4,769 kN·m (bordo inferiore)

Risposta

M_allow = 4,769 kN·m

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = −69,41 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = −40/53,15 = −0,7526, sin 2θ_s = −35/53,15 = −0,6585

2θ_s = atan2(−35, −40) = −138,8°

Angolo sull’elemento

θ_s = −69,41°

verifica: θ_s − θ_p = −69,41 − (−24,41) = −45°

Risposta

θ_s = −69,41°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −5 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = −55 + 15·0 + 50·1 = −5 MPa

Risposta

σ_θ = −5 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,003309 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 5·3000³/(24·1,7 × 10¹²) = 0,003309 rad

Risposta

θ_A = 0,003309 rad

Cioè 0,1896°.

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 51,75 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 10000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 51,75 mm

Risposta

δ_max = 51,75 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 102,8 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1000² = 102808 N = 102,8 kN

Risposta

P_cr = 102,8 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 27,76 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Risposta

σ_cr = 27,76 MPa

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