Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di alluminio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 12 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø30 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 40 mm e lunghezza 3 m; il tratto BC ha diametro 25 mm e lunghezza 1,2 m. Un momento torcente di 100 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 25 mm, L₂ = 1,2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 5 kW a 500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 80 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mw = 8 kN/m da 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 15 kN in 5 mw = 10 kN/m da 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 280 mm con due ali verticali, alta 60 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 10 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 280 mmh = 60 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 40 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 50° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 60 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 20° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P all’estremo libero. Usando la sovrapposizione, trova la freccia δ all’estremo libero.

P = 2 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Deve portare 65 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 65 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1263 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 10·1000/113,1 = 88,42 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for alluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 88,42/70000 = 0,001263 = 1263 µε

Risposta

ε = 1263 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 36,33 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·706,9/300 = 259181 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·259181/504618 = 25681 N

Tensione

σ₂ = 25681/706,9 = 36,33 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 36,33 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 3,096 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·3000/(80000·251327) = 0,01492 rad

φ_BC = 100000·1200/(80000·38350) = 0,03911 rad

Torsione totale

φ_C = 0,01492 + 0,03911 = 0,05403 rad = 3,096°

Risposta

φ_C = 3,096°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 18,25 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·80)) = 18,25 mm

Risposta

d = 18,25 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 15 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, applicata in x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 8·4·2

R_B = 64/4 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 16·1,5 − 8·1,5·0,75 = 15 kN·m

Risposta

M_x = 15 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 91,88 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·5 + 10·8·4

R_B = 395/8 = 49,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 49,38 = 45,63 kN

Taglia in x = 3 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 45,63·3 − 10·3·1,5 = 91,88 kN·m

Risposta

M_x = 91,88 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 12,89 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 280·10 = 2800 mm², y₁ = 5 mm

due ali: A₂ = 2·10·50 = 1000 mm², y₂ = 10 + 50/2 = 35 mm

Baricentro

ȳ = (2800·5 + 1000·35)/3800 = 12,89 mm

Risposta

ȳ = 12,89 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 239,4 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

anima: A_w = 12·240 = 2880 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·245 + 2880·120)/3880 = 152,2 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·10³/12 + 1000·(245 − 152,2)² = 8,617 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·240³/12 + 2880·(120 − 152,2)² = 1,681 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,617 × 10⁶ + 1,681 × 10⁷ = 2,543 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 152,2 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·152,2/2,543 × 10⁷ = 239,4 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 239,4 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = −46,85 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 5 − (−15)·(−0,1736) − 50·0,9848 = −46,85 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 56,85 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = −46,85 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 18,5 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 20 + 40·0,766 + −50·0,6428 = 18,5 MPa

Risposta

σ_θ = 18,5 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 58,81 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 2000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Ciascun carico da solo

δ_P = PL³/(3EI) = 2000·4000³/(3·3,99 × 10¹²) = 10,69 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 48,12 mm

Sommale

δ = 10,69 + 48,12 = 58,81 mm

Risposta

δ = 58,81 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·70000·8,333) = 3,616 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 3,616 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,473 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Risposta

P_cr = 3,473 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 69,96 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·65000 = 130000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 69,96 mm

Risposta

d = 69,96 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 142,9, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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