Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 60 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 60 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in ottone è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 0,8 m; il tratto BC ha diametro 40 mm e lunghezza 0,5 m. Un momento torcente di 250 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 40 mm, L₂ = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 40 mm è incastrato a pareti rigide a entrambe le estremità A e B. Un momento torcente di 1000 N·m è applicato in C, a 1 m da A e a 2,5 m da B. Trova l’angolo di rotazione φ_C della sezione C, in gradi.

d = 40 mmT₀ = 1000 N·ma = 1 mb = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 6 mw = 12 kN/m da 0 a 6 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

La trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito su una parte della luce. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 8 mw = 10 kN/m da 4 a 6 m

M_max = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 50 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 50 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Trova la tensione equivalente di von Mises σ_vM.

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 5,968 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/201,1 = 298,4 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 298,4/100000 = 0,002984 = 2984 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,002984·2000 mm = 5,968 mm

Risposta

δ = 5,968 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 7,077 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 47,75·1000/70000 = 0,6821 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·1500/70000 = 6,395 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,077 mm

Risposta

δ = 7,077 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 0,9616 °

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 250000·800/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,004031 rad

φ_BC = 250000·500/(39000·251327) = 0,01275 rad

Torsione totale

φ_C = 0,004031 + 0,01275 = 0,01678 rad = 0,9616°

Risposta

φ_C = 0,9616°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 6,263 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω. Quando entrambe le estremità sono incastrate, la sola statica dà solo T_A + T_B = T₀; la seconda equazione è la congruenza (uguale torsione delle due parti nella sezione caricata).

Equilibrio e congruenza

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·2,5/3,5 = 714,3 N·m

T_B = 1000·1/3,5 = 285,7 N·m

Rotazione di C

Usa il tratto AC: è incastrato in A e porta T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 714286·1000/(26000·251327) = 0,1093 rad = 6,263°

Risposta

φ_C = 6,263°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 52,5 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, applicata in x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·6·3

R_B = 216/6 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 36·3,5 − 12·3,5·1,75 = 52,5 kN·m

Risposta

M_x = 52,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 32,81 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·2·5

R_B = 100/8 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12,5 = 7,5 kN

Taglio nullo

Il taglio parte da R_A, resta costante su ogni tratto scarico e diminuisce con pendenza w all’interno del carico.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 7,5/10 = 4,75 m

Momento massimo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 7,5·4,75 − 10·0,75²/2 = 32,81 kN·m

Risposta

M_max = 32,81 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 8,013 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

anima: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·132,5 + 1440·60)/6940 = 117,5 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·25³/12 + 5500·(132,5 − 117,5)² = 1,531 × 10⁶ mm⁴

anima: 12·120³/12 + 1440·(60 − 117,5)² = 6,482 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,531 × 10⁶ + 6,482 × 10⁶ = 8,013 × 10⁶ mm⁴ = 8,013 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 8,013 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 85,06 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

anima: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·285 + 2240·140)/5040 = 220,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·10³/12 + 2800·(285 − 220,6)² = 1,165 × 10⁷ mm⁴

anima: 8·280³/12 + 2240·(140 − 220,6)² = 2,917 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,165 × 10⁷ + 2,917 × 10⁷ = 4,082 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 290 − 220,6 = 69,44 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·69,44/4,082 × 10⁷ = 85,06 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 85,06 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 44,72 MPa

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((100 − 60)/2)² + 40²) = 44,72 MPa

Risposta

τ_max = 44,72 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_vM = 83,07 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 45 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = 85,31 MPa, σ₂ = 4,689 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(85,31² − 85,31·4,689 + 4,689²) = 83,07 MPa

Risposta

σ_vM = 83,07 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 11,63 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 11,63 mm

Risposta

δ_max = 11,63 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,046 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 10,46 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 128,5 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/1000² = 128510 N = 128,5 kN

Risposta

P_cr = 128,5 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 179 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/10 = 105

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

Risposta

σ_cr = 179 MPa

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