Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 50 mm, lunghezza 200 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,3 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 40 kNtratto 1: Ø35 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 200 N·m agisce in B, a 0,8 m da A, e un momento torcente di 1500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 1 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 50 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0,8 mBC = 1 m

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 4 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 3,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 5 mP = 55 kN in 3,5 mw = 2 kN/m da 0 a 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 120 mm × 150 mm ha un intaglio rettangolare largo 30 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 45 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 120 mmh = 150 mmintaglio: 30 × 20 mmcentro del foro: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 400 mm e spessore di parete di 6 mm contiene gas a una pressione relativa di 2,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 50° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 400 mmt = 6 mmp = 2,5 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una mensola di lunghezza L è incastrata in A e porta un carico concentrato P a una distanza a = 1 m da A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 14 kNa = 1 mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 70 GPa (alluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 81,56 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1963) = 8,488 × 10⁻⁷ mm/N

Carico

P = 0,3/3,678 × 10⁻⁶ = 81561 N = 81,56 kN

Risposta

P = 81,56 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,167 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 41,58 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 41,58·500/117000 = 0,1777 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·1000/100000 = 1,989 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,167 mm

Risposta

δ = 2,167 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 14,94 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·38350) = 0,2608 rad

φ = 0,2608·180/π = 14,94°

Risposta

φ = 14,94°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 61,12 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

Risposta

τ_max = 61,12 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: C (x = 4 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 64 kN, R₂ = 44 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 128, M_C = 244 kN·m, M_D = 216, M_E = 164, M_F = 88, M_G = 0

Risposta

Punto C: M_C = 244 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 63 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, applicata in x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 217,5/5 = 43,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 43,5 = 21,5 kN

Taglia in x = 3,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 21,5·3,5 − 2·3,5·1,75 = 63 kN·m

Risposta

M_x = 63 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 50,23 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

anima: A_w = 12·280 = 3360 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·290 + 3360·140)/5360 = 196 mm

Teorema del trasporto

ala: 100·20³/12 + 2000·(290 − 196)² = 1,775 × 10⁷ mm⁴

anima: 12·280³/12 + 3360·(140 − 196)² = 3,248 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,775 × 10⁷ + 3,248 × 10⁷ = 5,023 × 10⁷ mm⁴ = 50,23 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 50,23 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 33,17 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (18000·75 − 600·45)/(18000 − 600) = 76,03 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,034² = 33,77 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

30·20³/12 + 600·−31,03² = 0,5979 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 33,17 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 33,17 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 40,31 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((−50 − −40)/2)² + 40²) = 40,31 MPa

Risposta

τ_max = 40,31 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 20,52 MPa

Tensioni nella parete

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2,5·200/6 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (83,33 − 41,67)·sin 50°·cos 50° = 20,52 MPa

Risposta

|τ_n| = 20,52 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 18,45 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 14000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa³/(3EI) = 14000·1000³/(3·2,53 × 10¹¹) = 18,45 mm

Risposta

δ_P = 18,45 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·11000·5,556) = 2,727 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 17,13 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/3000² = 17135 N = 17,13 kN

Risposta

P_cr = 17,13 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 6,747 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Risposta

σ_cr = 6,747 MPa

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