Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di bronzo (diametro 50 mm, lunghezza 500 mm, E = 110 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,25 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 160 MPa) sta dentro un tubo di bronzo (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 110 GPa, tensione ammissibile 100 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in ottone (diametro esterno 30 mm, diametro interno 23 mm, lunghezza 1,5 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 400 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 400 N·md_o = 30 mmd_i = 23 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo deve trasmettere 5 kW a 1000 rpm. Il suo diametro interno deve essere 0,7 volte il diametro esterno, e la tensione tangenziale non deve superare 60 MPa. Trova il diametro esterno minimo d_o.

P = 5 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 3 m da A. Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1 m dall’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 3 mP = 45 kN in 3 mw = 6 kN/m da 0 a 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 0 m25 kN @ 12 m10 kN @ 6 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Trova il momento d’inerzia I_x della sezione a T rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 30 kN·m. Trova la tensione di flessione σ_{in basso} al bordo inferiore.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_{in basso} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 100 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 25° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 100 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un punto di una lastra sottile è in stato piano di tensione: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Il materiale ha una tensione di snervamento di 275 MPa. Trova il coefficiente di sicurezza n nei confronti dello snervamento secondo il criterio di von Mises (energia di distorsione).

σ_x = 130 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Freccia della traveMedia

Una mensola porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. Trova la freccia δ all’estremo libero.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w. La sua freccia non può superare luce/360. Trova il momento d’inerzia minimo I_req che rispetta questo limite.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 21,07 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1963) = 2,315 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,25/1,186 × 10⁻⁵ = 21072 N = 21,07 kN

Risposta

P = 21,07 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 394,6 kN

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·2199 = 4,932 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,0008, 0,0009091) = 0,0008 (acciaio)

Carico massimo

P_max = 0,0008·4,932 × 10⁸ = 394584 N = 394,6 kN

Risposta

P_max = 394,6 kN

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 16,94 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(30⁴ − 23⁴)/32 = 52048 mm⁴

Angolo di torsione

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·1500/(39000·52048) = 0,2956 rad

φ = 0,2956·180/π = 16,94°

Risposta

φ = 16,94°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d_o = 17,47 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Diametro esterno dalla tensione ammissibile

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·60·0,7599)) = 17,47 mm

d_i = 0,7·17,47 = 12,23 mm

Risposta

d_o = 17,47 mm

Un albero pieno richiederebbe d = 15,94 mm; quello cavo è un po’ più grande ma molto più leggero.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = −102 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·2 = −90 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_x = −90 − 12 = −102 kN·m

Risposta

M_x = −102 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: E (x = 8 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 70,67 kN, R₂ = 57,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −54,67, M_D = −51,33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Risposta

Punto E: M_E = −100 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 8,108 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

anima: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·112,5 + 2000·50)/9000 = 98,61 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·25³/12 + 7000·(112,5 − 98,61)² = 1,715 × 10⁶ mm⁴

anima: 20·100³/12 + 2000·(50 − 98,61)² = 6,393 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,715 × 10⁶ + 6,393 × 10⁶ = 8,108 × 10⁶ mm⁴ = 8,108 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 8,108 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in basso} = 266,1 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

anima: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·215 + 1600·100)/5200 = 179,6 mm

Teorema del trasporto

ala: 120·30³/12 + 3600·(215 − 179,6)² = 4,777 × 10⁶ mm⁴

anima: 8·200³/12 + 1600·(100 − 179,6)² = 1,548 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,777 × 10⁶ + 1,548 × 10⁷ = 2,025 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo inferiore dista ȳ dall’asse.

y = 179,6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·179,6/2,025 × 10⁷ = 266,1 MPa

Risposta

σ_{in basso} = 266,1 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 121,3 MPa

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 85 − 15·0,6428 − (−60)·0,766 = 121,3 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 48,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 121,3 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: n = 1,935

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R. Criteri di snervamento: von Mises prevede lo snervamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) raggiunge σ_Y; Tresca quando la tensione tangenziale massima assoluta raggiunge σ_Y/2.

Tensioni principali

C = 100 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 158,3 MPa, σ₂ = 41,69 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(158,3² − 158,3·41,69 + 41,69²) = 142,1 MPa

n = 275/142,1 = 1,935

Risposta

n = 1,935

n > 1 significa che il punto non si snerva; Tresca è leggermente più conservativo di von Mises.

11.Freccia della trave

Risposta: δ = 1,628 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ = wL⁴/(8EI) = 8·2500⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 1,628 mm

Risposta

δ = 1,628 mm

12.Freccia della trave

Risposta: I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Limite di freccia

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento d’inerzia richiesto

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2000⁴/(384·11000·5,556) = 5,114 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_req = 51,14 × 10⁶ mm⁴

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 62,01 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Risposta

P_cr = 62,01 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 100,7 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Risposta

σ_cr = 100,7 MPa

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