Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Un’asta di acciaio (diametro 40 mm, E = 200 GPa) sta dentro un tubo di alluminio (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 70 GPa). Entrambi sono lunghi 400 mm e sono compressi insieme tra piastre rigide da 250 kN. Trova l’accorciamento δ.

P = 250 kNasta: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova la tensione normale massima σ_max nella barra.

P = 10 kNtratto 1: Ø35 mm, 1 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 1 m, rame (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno in ottone lungo 0,8 m è sollecitato da un momento torcente di 1500 N·m. L’angolo di torsione tra le sue estremità non deve superare 3°. Trova il diametro minimo d che rispetta questo limite.

T = 1500 N·mL = 0,8 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 5 kW a 750 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 40 MPa e la torsione non deve superare 1° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mw = 4 kN/m da 0 a 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 1,5 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 8 mP = 50 kN in 7 mw = 3 kN/m da 0 a 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 140 mm con due ali verticali, alta 180 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 16 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 140 mmh = 180 mmt = 16 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 15 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 15 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 10 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 15° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 1200 mm e spessore di parete di 6 mm contiene gas a una pressione relativa di 1,5 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 60° rispetto all’asse del cilindro. Trova il modulo della tensione tangenziale |τ_n| che agisce lungo la cordatura di saldatura.

D = 1200 mmt = 6 mmp = 1,5 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a a = 2 m dall’appoggio A. Trova la freccia δ_P sotto il carico.

P = 27 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (alluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico concentrato P a b = 1,5 m dall’appoggio B. Trova la freccia massima δ_max della trave.

P = 26 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (acciaio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,2468 mm

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Accorciamento

δ = 250000·400/4,053 × 10⁸ = 0,2468 mm

Risposta

δ = 0,2468 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ_max = 49,74 MPa

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 10,39 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Tensione massima

Il tratto più sottile ha l’area minore, quindi porta la tensione maggiore.

σ_max = 49,74 MPa

Risposta

σ_max = 49,74 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: d = 49,46 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare richiesto

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·800/(39000·0,05236) = 587649 mm⁴

Diametro

d = (32J/π)^1/4 = 49,46 mm

Risposta

d = 49,46 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 26,11 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diametro per la resistenza

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 26,11 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(20,09, 26,11) = 26,11 mm

Risposta

d = 26,11 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 19,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 16·1,5 − 4·1,5·0,75 = 19,5 kN·m

Risposta

M_x = 19,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 24 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, applicata in x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·7 + 3·8·4

R_B = 446/8 = 55,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 55,75 = 18,25 kN

Taglia in x = 1,5 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 18,25·1,5 − 3·1,5·0,75 = 24 kN·m

Risposta

M_x = 24 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 71,08 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 140·16 = 2240 mm², y₁ = 8 mm

due ali: A₂ = 2·16·164 = 5248 mm², y₂ = 16 + 164/2 = 98 mm

Baricentro

ȳ = (2240·8 + 5248·98)/7488 = 71,08 mm

Risposta

ȳ = 71,08 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 28,24 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

anima: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·207,5 + 2000·100)/6200 = 172,8 mm

Teorema del trasporto

ala: 280·15³/12 + 4200·(207,5 − 172,8)² = 5,129 × 10⁶ mm⁴

anima: 10·200³/12 + 2000·(100 − 172,8)² = 1,727 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,129 × 10⁶ + 1,727 × 10⁷ = 2,24 × 10⁷ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 215 − 172,8 = 42,18 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·42,18/2,24 × 10⁷ = 28,24 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 28,24 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 95,31 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 45 − (−35)·0,866 − (−40)·0,5 = 95,31 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = −5,311 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 95,31 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: |τ_n| = 32,48 MPa

Tensioni nella parete

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/6 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

|τ_n| = (150 − 75)·sin 60°·cos 60° = 32,48 MPa

Risposta

|τ_n| = 32,48 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_P = 14,29 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 27000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Freccia sotto il carico

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·2000²·1000²/(3·8,4 × 10¹¹·3000) = 14,29 mm

Risposta

δ_P = 14,29 mm

12.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 13,29 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

P = 26000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Posizione del massimo

Ponendo uguale a zero la rotazione nel tratto più lungo si ottiene la posizione.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

Freccia massima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 13,29 mm

Risposta

δ_max = 13,29 mm

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 72,19 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1750² = 72189 N = 72,19 kN

Risposta

P_cr = 72,19 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 49,35 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/6,25 = 200

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Risposta

σ_cr = 49,35 MPa

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