Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 100 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 25 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) e un tratto di rame (diametro 60 mm, lunghezza 400 mm, E = 120 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 50 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero cavo in acciaio (diametro esterno 50 mm, diametro interno 35 mm, lunghezza 0,8 m) è incastrato a un’estremità e torto da un momento torcente di 2000 N·m all’altra. Trova l’angolo di torsione φ in gradi.

T = 2000 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 100 kW a 1800 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 100 kWN = 1800 rpmd_o = 75 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Taglio e momento flettenteMedia

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 6 m55 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

60 kN @ 0 m15 kN @ 12 m25 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una piastra di 200 mm × 150 mm ha un foro circolare di diametro 50 mm sulla sua linea d’asse verticale, con il centro 90 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro del foro: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una sezione a I saldata ha un’ala superiore 150 × 16 mm, un’anima alta 160 mm e spessa 16 mm, e un’ala inferiore 300 × 18 mm (larghezza × spessore). Trova il suo momento d’inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale x passante per il baricentro.

ala superiore: 150 × 16 mmanima: 16 × 160 mmala inferiore: 300 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 30 MPa e σᵧ = −50 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 80 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 150 MPa, σᵧ = 90 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 30° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la rotazione θ_A della trave all’appoggio A, in radianti.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (legno strutturale)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 125 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 125 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (alluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 9,947 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/100000 = 0,004974 = 4974 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,004974·2000 mm = 9,947 mm

Risposta

δ = 9,947 mm

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 14,82 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 50000·848230/1,012 × 10⁶ = 41915 N

Tensione

σ₂ = 41915/2827 = 14,82 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 14,82 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 2,458 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Angolo di torsione

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 0,8 m = 800 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·800/(80000·466269) = 0,04289 rad

φ = 0,04289·180/π = 2,458°

Risposta

φ = 2,458°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 9,293 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 100000/188,5 = 530,5 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 530516·37,5/2,141 × 10⁶ = 9,293 MPa

Risposta

τ_max = 9,293 MPa

5.Taglio e momento flettente

Risposta: D (x = 6 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 48,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = 96,67, M_C = 193,3, M_D = 290 kN·m, M_E = 266,7, M_F = 133,3, M_G = 0

Risposta

Punto D: M_D = 290 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 2 m)

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 86,67 kN, R₂ = 13,33 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −66,67, M_D = −63,33, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −120 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (30000·75 − 1963·90)/(30000 − 1963) = 73,95 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

200·150³/12 + 30000·1,051² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16,05² = 0,8126 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 60,01 × 10⁶ mm⁴

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in tre rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala superiore: A = 2400 mm², y = 186 mm

anima: A = 2560 mm², y = 98 mm

ala inferiore: A = 5400 mm², y = 9 mm

Baricentro

ȳ = (2400·186 + 2560·98 + 5400·9)/10360 = 72 mm

Teorema del trasporto

ala superiore: 150·16³/12 + 2400·114² = 3,124 × 10⁷ mm⁴

anima: 16·160³/12 + 2560·26² = 7,192 × 10⁶ mm⁴

ala inferiore: 300·18³/12 + 5400·63² = 2,158 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,124 × 10⁷ + 7,192 × 10⁶ + 2,158 × 10⁷

I_x = 6,001 × 10⁷ mm⁴ = 60,01 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 60,01 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 80,62 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (30 + (−50))/2 = −10 MPa

R = σ₁ − C = 80 − (−10) = 90 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 40²) = 80,62 MPa

Risposta

τ_xy = 80,62 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 143,7 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 120 + 30·0,5 + 10·0,866 = 143,7 MPa

Risposta

σ_θ = 143,7 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: θ_A = 0,01426 rad

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione). La rotazione θ = dv/dx è il primo integrale di M/(EI); in unità coerenti risulta in radianti.

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Rotazione all’estremo

θ_A = wL³/(24EI) = 4·2000³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,01426 rad

Risposta

θ_A = 0,01426 rad

Cioè 0,8171°.

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 148,5 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 4000/300 = 13,33 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·4000⁴/(384·11000·13,33) = 3,409 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·3,409 × 10⁷/125)^1/3 = 148,5 mm

Risposta

h_req = 148,5 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,312 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·1000 = 2000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Risposta

P_cr = 3,312 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 49,35 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Risposta

σ_cr = 49,35 MPa

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