Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 16 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un tratto di acciaio (diametro 30 mm, lunghezza 300 mm, E = 200 GPa) e un tratto di bronzo (diametro 30 mm, lunghezza 500 mm, E = 110 GPa) sono uniti testa a testa e fissati tra due pareti rigide. Un carico assiale di 100 kN agisce nella giunzione, verso il tratto 2. Trova il modulo della tensione σ₂ nel tratto 2.

tratto 1: acciaio, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPatratto 2: bronzo, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 1500 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 40 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Taglio e momento flettenteMedia

La trave semplicemente appoggiata porta due carichi concentrati. Trova il momento flettente massimo M_max nella trave.

L = 5 mP₁ = 50 kN in 1,5 mP₂ = 20 kN in 4 m

M_max = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

Trova il momento flettente M_x nella sezione x = 4 m dall’appoggio A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 10 mP = 35 kN in 4 mw = 3 kN/m da 0 a 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Una sezione a C è disposta con il lato aperto verso l’alto: una piastra di base larga 300 mm con due ali verticali, alta 130 mm fuori tutto. Base e ali hanno tutte spessore 20 mm. Trova l’altezza ȳ del baricentro sopra il lato inferiore.

b = 300 mmh = 130 mmt = 20 mm

ȳ = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

La sezione a T è usata come trave con l’ala in alto e porta un momento flettente positivo di 10 kN·m. Trova il valore della tensione di flessione σ_{in alto} al bordo superiore.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mmM = 10 kN·m

σ_{in alto} = MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_p dall’asse x alla direzione della tensione principale massima, compreso tra −90° e 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un albero pieno di diametro 50 mm porta un momento flettente di 300 N·m insieme a un momento torcente di 250 N·m. Sulla superficie superiore, dove la tensione di flessione è di trazione e massima, trova la tensione principale massima σ₁.

d = 50 mmM = 300 N·mT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acciaio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una trave in legno semplicemente appoggiata a sezione rettangolare, larga 150 mm, porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. La sua freccia in mezzeria non può superare luce/300. Trova l’altezza minima h_req della sezione.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (legno strutturale)b = 150 mm

h_req = mm

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 70 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 70 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 1492 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/201,1 = 298,4 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 298,4/200000 = 0,001492 = 1492 µε

Risposta

ε = 1492 µε

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: σ₂ = 35,1 MPa

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Rigidezze

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm

Quota del tratto 2

F₂ = 100000·155509/626748 = 24812 N

Tensione

σ₂ = 24812/706,9 = 35,1 MPa (compressione)

Risposta

σ₂ = 35,1 MPa

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 14,78 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·800/(39000·79522) = 0,258 rad

φ = 0,258·180/π = 14,78°

Risposta

φ = 14,78°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 20,09 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 10000/157,1 = 63,66 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·40)) = 20,09 mm

Risposta

d = 20,09 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_max = 58,5 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio. Momento massimo: poiché dM/dx = V, il momento flettente raggiunge il massimo dove il taglio si annulla, in corrispondenza di un carico concentrato oppure all’interno di un carico distribuito.

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,5 + 20·4

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31 = 39 kN

Momento sotto ciascun carico

Tieni la parte a sinistra di ciascun carico.

sotto P₁: M = R_A·1,5 = 39·1,5 = 58,5 kN·m

sotto P₂: M = R_B·1 = 31·1 = 31 kN·m

Valore massimo

M_max = 58,5 kN·m (sotto P₁)

Risposta

M_max = 58,5 kN·m

6.Taglio e momento flettente

Risposta: M_x = 120 kN·m

Reazioni vincolari

Equilibrio dell’intera trave.

Risultante del carico distribuito: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, applicata in x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·4 + 3·10·5

R_B = 290/10 = 29 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 29 = 36 kN

Taglia in x = 4 m e tieni la parte sinistra

Compaiono solo le forze a sinistra del taglio. Una porzione di carico distribuito agisce come un’unica forza al centro di quella porzione.

M = R_A·x − (ogni carico a sinistra del taglio × la sua distanza dal taglio)

M_x = 36·4 − 3·4·2 = 120 kN·m

Risposta

M_x = 120 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: ȳ = 37,5 mm

Aree composte: dividi la sezione in rettangoli. Il baricentro è la media pesata sulle aree ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico somma il bh³/12 proprio di ogni parte e il suo termine di trasporto A·d², dove d è la distanza dal baricentro della parte al baricentro complessivo. La tensione di flessione è σ = M·y/I.

Dividi in rettangoli

Prendi la base a larghezza piena e le due ali sopra di essa (altezza h − t), così niente viene contato due volte.

base: A₁ = 300·20 = 6000 mm², y₁ = 10 mm

due ali: A₂ = 2·20·110 = 4400 mm², y₂ = 20 + 110/2 = 75 mm

Baricentro

ȳ = (6000·10 + 4400·75)/10400 = 37,5 mm

Risposta

ȳ = 37,5 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: σ_{in alto} = 72,5 MPa

Dividi in due rettangoli

Misura ogni y dal bordo inferiore.

ala: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

anima: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Baricentro

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·105 + 1200·50)/3400 = 85,59 mm

Teorema del trasporto

ala: 220·10³/12 + 2200·(105 − 85,59)² = 847330 mm⁴

anima: 12·100³/12 + 1200·(50 − 85,59)² = 2,52 × 10⁶ mm⁴

I_x = 847330 + 2,52 × 10⁶ = 3,367 × 10⁶ mm⁴

Tensione di flessione

Il bordo superiore dista h − ȳ dall’asse.

y = 110 − 85,59 = 24,41 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·24,41/3,367 × 10⁶ = 72,5 MPa

Risposta

σ_{in alto} = 72,5 MPa

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_p = 47,38 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto x si trova a un angolo 2θp dall’asse σ; il quadrante dipende dai segni di σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −70 − −60) = 94,76°

Angolo sull’elemento

θ_p = 47,38°

Risposta

θ_p = 47,38°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ₁ = 28,13 MPa

Tensioni in superficie

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·50³) = 24,45 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

Cerchio di Mohr

C = σ/2 = 12,22 MPa

R = √(12,22² + 10,19²) = 15,91 MPa

σ₁ = C + R = 28,13 MPa

σ₂ = C − R = −3,688 MPa

Risposta

σ₁ = 28,13 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 5,086 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 5,086 mm

Risposta

δ_max = 5,086 mm

12.Freccia della trave

Risposta: h_req = 152,6 mm

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite di freccia

δ_allow = L/300 = 5000/300 = 16,67 mm

Momento d’inerzia richiesto

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·16,67) = 4,439 × 10⁷ mm⁴

Altezza richiesta

bh³/12 = I_req → h = (12·4,439 × 10⁷/150)^1/3 = 152,6 mm

Risposta

h_req = 152,6 mm

In pratica, scegli l’altezza commerciale immediatamente superiore a questo valore.

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 39,69 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2500² = 39688 N = 39,69 kN

Risposta

P_cr = 39,69 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 64,2 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 3·70000 = 210000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 64,2 mm

Risposta

d = 64,2 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 174,4, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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