Scienza delle costruzioni: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 14 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Taglio e momento flettente

Taglio e momento: V = ΣF da un lato, M = ΣF·d da un lato
Tensione di flessione: σ = M·y/I
Rettangolo: I = bh³/12
Modulo di resistenza: W = I/y_max
Trave appoggiata, carico uniforme: M_max = wL²/8

Metodo

Trova le reazioni vincolari dall’equilibrio dell’intera trave.
Taglia la trave nella sezione che ti serve e considera una sola parte.
Taglio: somma delle forze verticali su quella parte. Momento flettente: somma dei loro momenti rispetto alla sezione di taglio.
Per il momento massimo, trova dove il taglio è nullo.

Baricentro e momento d’inerzia

Baricentro: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rettangolo: I = bh³/12
Teorema del trasporto: I = I_c + A·d²
Sezione composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Freccia della trave

Carico concentrato in mezzeria: δ = PL³/(48EI)
Carico uniforme, trave appoggiata: δ = 5wL⁴/(384EI)
Mensola, carico all’estremo: δ = PL³/(3EI)
Mensola, carico uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Sovrapposizione degli effetti: δ = δ₁ + δ₂

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Esercizi

1.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 20 mm, lunghezza 600 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 60 mm, lunghezza 500 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,4 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 85 kNtratto 1: Ø40 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, alluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsione degli alberiMedia

In una prova di torsione, un provino pieno di diametro 20 mm viene torto da un momento torcente di 75 N·m. Le due estremità di un tratto utile di 300 mm ruotano di 1,03° l’una rispetto all’altra (il materiale è ancora in campo elastico). Trova il modulo di elasticità tangenziale G del materiale.

T = 75 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 1,03°

G = GPa

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 250 N·m agisce in B, a 3 m da A, e un momento torcente di 400 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 0,5 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 50 mmT_B = 250 N·mT_C = 400 N·mAB = 3 mBC = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Taglio e momento flettenteMedia

La mensola è incastrata in A. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza e un carico concentrato P a 1 m da A. Trova il momento flettente M_A all’incastro A. Considera positivi i momenti che tendono le fibre inferiori e positivo il taglio verso l’alto sulla faccia sinistra.

L = 4 mP = 45 kN in 1 mw = 4 kN/m da 0 a 4 m

M_A = kN·m

6.Taglio e momento flettenteDifficile

I punti da A a G dividono la trave in sei parti uguali. In quale punto il momento flettente è massimo in valore assoluto, positivo o negativo? Cliccalo nel diagramma.

45 kN @ 0 m15 kN @ 6 m30 kN @ 4 m12 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Baricentro e momento d’inerziaMedia

Un tubo circolare ha diametro esterno D = 140 mm e diametro interno d = 124 mm. Trova il suo raggio d’inerzia r rispetto all’asse baricentrico orizzontale.

D = 140 mmd = 124 mm

r = mm

8.Baricentro e momento d’inerziaDifficile

Una piastra di 150 mm × 240 mm ha un intaglio rettangolare largo 80 mm e alto 20 mm, centrato sulla linea d’asse verticale con il centro 168 mm sopra il fondo. Trova il momento di inerzia I_x rispetto all’asse orizzontale passante per il baricentro.

b = 150 mmh = 240 mmintaglio: 80 × 20 mmcentro del foro: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 90 MPa e σᵧ = 100 MPa. Quanto può diventare grande la tensione tangenziale τ_xy (in modulo) prima che la tensione principale massima raggiunga 115 MPa?

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Freccia della traveMedia

Una trave semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la luce. Trova la freccia massima δ_max, in mezzeria.

w = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (alluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Freccia della traveDifficile

Una mensola puntellata è incastrata in A e semplicemente appoggiata (puntellata) in B. Porta un carico uniformemente distribuito w su tutta la lunghezza. EI è costante. Trova il valore del momento flettente M_A all’incastro.

L = 3 mw = 12 kN/m

M_A = kN·m

13.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 15 kN con un coefficiente di sicurezza di 2,5 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 15 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

3Soluzioni

1.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 36,29 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,4/1,102 × 10⁻⁵ = 36288 N = 36,29 kN

Risposta

P = 36,29 kN

2.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 22,92 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 751,6 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·1500/70000 = 1,449 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 751,6·2000/70000 = 21,47 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 22,92 mm

Risposta

δ = 22,92 mm

3.Torsione degli alberi

Risposta: G = 79,68 GPa

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare e angolo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 1,03·π/180 = 0,01798 rad

Modulo di taglio

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·300/(15708·0,01798) = 79680 MPa

G = 79,68 GPa

Risposta

G = 79,68 GPa

Confronta: acciaio ≈ 80 GPa, ottone ≈ 39 GPa, alluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 5,148 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 250 = 650 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 650000·3000/(39000·613592) = 0,08149 rad

φ_BC = 400000·500/(39000·613592) = 0,008358 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,08149 + 0,008358 = 0,08985 rad → |φ_C| = 5,148°

Risposta

φ_C = 5,148°

5.Taglio e momento flettente

Risposta: M_A = −77 kN·m

Metodo delle sezioni: taglia la trave dove vuoi le forze interne e tieni un lato. Il taglio V equilibra le forze verticali su quel lato, e il momento flettente M equilibra i loro momenti rispetto al taglio.

Tieni la parte dell’estremo libero

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −4·4²/2 = −32 kN·m

M_A = −45 − 32 = −77 kN·m

Risposta

M_A = −77 kN·m

Negativo significa fibre superiori tese: trazione sulla faccia superiore.

6.Taglio e momento flettente

Risposta: B (x = 1 m)

Massimo momento flettente: M cambia pendenza ovunque cambi il taglio, quindi i suoi picchi stanno dove il taglio passa per zero: sotto un carico concentrato, dentro un carico distribuito, o sopra un appoggio di una trave a sbalzo. In un incastro di una mensola il momento è massimo alla parete. Confronta il valore di M in quei punti, positivo o negativo.

Reazioni vincolari

Prendi i momenti rispetto a un appoggio, poi usa l’equilibrio delle forze verticali.

R₁ = 84 kN, R₂ = 54 kN

Momento flettente in ogni punto

Somma i momenti di tutte le forze su un lato del taglio. Il verso che tende le fibre inferiori è positivo, quello opposto negativo.

M_A = 0, M_B = −45 kN·m, M_C = −12, M_D = 9, M_E = 18, M_F = −15, M_G = 0

Risposta

Punto B: M_B = −45 kN·m

7.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: r = 46,75 mm

Momento d’inerzia: per un rettangolo rispetto al proprio asse baricentrico I = bh³/12, e rispetto alla base bh³/3 (teorema del trasporto I = I_c + A·d²). Un foro si tratta sottraendo il suo I, purché entrambe le parti si riferiscano allo stesso asse. Il modulo di resistenza elastico è S = I/c, dove c è la distanza dalla fibra più esterna. Il raggio d’inerzia r = √(I/A) è la distanza alla quale l’intera area darebbe lo stesso I; si usa nell’instabilità a carico di punta dei pilastri.

Area netta e momento d’inerzia netto

A = π(D² − d²)/4 = 3318 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,252 × 10⁶ mm⁴

Raggio d’inerzia

r = √(I/A) = √(7,252 × 10⁶/3318) = 46,75 mm

Risposta

r = 46,75 mm

8.Baricentro e momento d’inerzia

Risposta: I_x = 168,9 × 10⁶ mm⁴

Sezioni con fori: tratta un foro come un’area negativa. Il baricentro è ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ per la piastra piena e A₂, y₂ per il foro. Per il momento di inerzia rispetto all’asse baricentrico, usa il teorema degli assi paralleli per ogni parte e sottrai il foro: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dove d è la distanza dal baricentro di ciascuna parte all’asse passante per ȳ. Un rettangolo ha I_c = bh³/12 e un cerchio I_c = πd⁴/64.

Baricentro

ȳ = (36000·120 − 1600·168)/(36000 − 1600) = 117,8 mm

Piastra piena rispetto a ȳ

150·240³/12 + 36000·2,233² = 173 × 10⁶ mm⁴

Foro rispetto a ȳ

80·20³/12 + 1600·50,23² = 4,091 × 10⁶ mm⁴

Sottrai

I_x = 168,9 × 10⁶ mm⁴

Risposta

I_x = 168,9 × 10⁶ mm⁴

9.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_xy = 19,36 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio richiesto

C = (90 + 100)/2 = 95 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 95 = 20 MPa

Tensione tangenziale

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19,36 MPa

Risposta

τ_xy = 19,36 MPa

10.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −40,31 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −35·0,866 + 20·−0,5 = −40,31 MPa

Risposta

τ_θ = −40,31 MPa

11.Freccia della trave

Risposta: δ_max = 64,59 mm

Freccia delle travi: le frecce si ottengono integrando due volte la curvatura M/(EI). I casi standard sono tabulati, per esempio PL³/(3EI) per una mensola con carico all’estremo e 5wL⁴/(384EI) per una trave semplicemente appoggiata con carico uniforme su tutta la luce. Le frecce dovute a carichi diversi si sommano (sovrapposizione).

Unità coerenti

Lavora in N e mm: P in N, w in N/mm (kN/m = N/mm), L in mm, E in N/mm² (GPa × 1000), I in mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Freccia

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 64,59 mm

Risposta

δ_max = 64,59 mm

12.Freccia della trave

Risposta: M_A = 13,5 kN·m

Rimuovi il puntello

Senza il puntello la trave è una mensola. Il suo estremo libero si abbasserebbe sotto il carico.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Congruenza al puntello

La sola forza del puntello R_B solleva l’estremo libero di R_BL³/(3EI). Il puntello mantiene B a freccia nulla, quindi i due effetti devono annullarsi. EI si semplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

Momento all’incastro

Momenti rispetto ad A dei carichi e della forza del puntello.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 54 − 40,5 = 13,5 kN·m

Risposta

M_A = 13,5 kN·m

13.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 67,14 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2800² = 67140 N = 67,14 kN

Risposta

P_cr = 67,14 kN

14.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 61,1 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 61,1 mm

Risposta

d = 61,1 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 392,8, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

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