Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
++2 µC−−4 µC−−4 µC16 cm + 24 cm

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +2 µC a sinistra, −4 µC a destra a 40 cm di distanza, e −4 µC tra loro, a 16 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

qL = +2 µCqR = −4 µCqM = −4 µCrL = 16 cmrR = 24 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
+ + + + + +− − − − − −e⁻3,5 × 10⁷ m/s10 cmE = 3600 N/C

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 3,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 10 cm e il campo tra di esse è 3600 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3600 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9,109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 30 VR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 ΩR4 = 15 ΩR5 = 3 ΩR6 = 4 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
R = 22 Ωt = 0L220 mHi(t)

L’induttore porta una corrente stazionaria di 0,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Trova la tensione vR ai capi di R a t = 5 ms.

i(0) = 0,5 AR = 22 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vR = V
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​12 Vt = 0R = 10 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 4 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore vC in t = 1000 ms.

Vs = 12 VR = 10 kΩC = 100 µFvC(0) = 4 Vt = 1000 ms
vC = V
7.Campi magnetici e induzioneMedia
vI = ?

Una spira quadrata si muove verso destra entrando in una regione con un campo magnetico uniforme orientato verso l’esterno della pagina. Clicca il verso della corrente indotta nella spira come si vede nel disegno, mentre la spira sta entrando nel campo.

B: verso l’esterno della paginaingresso nel campo
  1. 1oraria
  2. 2antioraria
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = ?10 cm × 20 cmN = 150B = 0,5 T

Una bobina di 150 spire, 10 cm × 20 cm, ruota in un campo uniforme di 0,5 T attorno a un asse perpendicolare al campo. A quale velocità n (in giri al minuto) deve girare per dare una f.e.m. efficace di 66,64 V?

N = 150A = 10 cm × 20 cmB = 0,5 TErms = 66,64 V
n = rpm
9.Impedenza AC e fasoriMedia
50 V100 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 4,7 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 50 V (efficaci), 100 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
VfR = 100 ΩL = 10 mHC = 0,047 µF

Un circuito RLC serie ha R = 100 Ω, L = 10 mH e C = 0,047 µF. Trova la sua larghezza di banda B (l’ampiezza della banda tra le frequenze a metà potenza), in Hz.

R = 100 ΩL = 10 mHC = 0,047 µF
B = Hz

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 5,307 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

FL = −k·2·4 × 10⁻¹²/0,16² = −2,809 N
FR = −k·4·4 × 10⁻¹²/0,24² = −2,497 N

Forza risultante

F = −2,809 + (−2,497) = −5,307 N → |F| = 5,307 N

Risposta

F = 5,307 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 2,584 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,1/3,5 × 10⁷ = 2,857 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3600/9,109 × 10⁻³¹ = 6,331 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·6,331 × 10¹⁴·(2,857 × 10⁻⁹)² = 0,002584 m = 2,584 mm

Risposta

y = 2,584 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 1,674 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​3 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 4 + 3 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 5·7/(5+7) = 2,917 Ω
Req = R1 + 2,917 = 15 + 2,917 = 17,92 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 30/17,92 = 1,674 A

Risposta

IR1 = 1,674 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 6,16 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 20 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​30 VR2​5 ΩAR4​15 ΩBR6​4 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 3 + 4 = 7 Ω
R4 ∥ 7 = 4,773 Ω
R3 + 4,773 = 24,77 Ω
R2 ∥ 24,77 = 4,16 Ω
Req = R1 + 4,16 = 2 + 4,16 = 6,16 Ω

Risposta

Req = 6,16 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: vR = 6,672 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

Decadimento della corrente

i(t) = 0,5·e−5/10 = 0,3033 A
vR = R·i = 22·0,3033 = 6,672 V

Risposta

vR = 6,672 V
6.Transitori RC e RL

Risposta: vC = 9,057 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 10 kΩ · 100 µF = 1000 ms
vC(t) = 12 + (4 − 12)·e−t/τ

Tensione all’istante dato

vC(1000) = 12 + (−8)·e−1000/1000 = 9,057 V

Risposta

vC = 9,057 V
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: oraria

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso

Il flusso uscente dalla pagina aumenta, oppure il flusso entrante nella pagina diminuisce.

Campo della corrente indotta

La corrente indotta si oppone alla variazione.

Campo indotto all’interno della spira: entrante nella pagina.

Verso della corrente

Regola della mano destra: una corrente antioraria produce un campo uscente dalla pagina all’interno della spira.

oraria

Risposta

oraria
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: n = 600 rpm

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di picco

E₀ = √2·Erms = 94,24 V

Velocità angolare

ω = E₀/(NBA) = 94,24/(150·0,5·0,02) = 62,83 rad/s

Giri al minuto

n = 60·62,83/(2π) = 600 rpm

Risposta

n = 600 rpm
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,2039 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−244,4)²) = 245,2 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 50/245,2 = 0,2039 A

Risposta

I = 0,2039 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: B = 1592 Hz

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Frequenza di risonanza

f0 = 1/(2π·√(0,01·0,047·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,01/(0,047·10⁻⁶)) = 4,613

Larghezza di banda

B = f0/Q = 7341/4,613 = 1592 Hz

Risposta

B = 1592 Hz

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