Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +3 µC a sinistra, +2 µC a destra a 40 cm di distanza, e +1 µC tra loro, a 24 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = +2 µCq_M = +1 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Due palline identiche, ciascuna di massa 3 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 30 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 10° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 30 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 25 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore porta una corrente stazionaria di 1,5 A. A t = 0 l’interruttore chiude la maglia attraverso R e il generatore viene escluso, quindi la corrente dell’induttore decresce attraverso R. Quanto tempo serve perché la corrente scenda a 0,375 A? Trova t.

i(0) = 1,5 AR = 10 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 100 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 47 µFt = 100 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Una bobina di 250 spire ha un’area di 150 cm². La bobina viene capovolta (ruotata di 180°) in 250 ms in un campo uniforme di 0,2 T, perpendicolare al suo piano. Trova la f.e.m. indotta media ε.

N = 250A = 150 cm²B = 0,2 TΔt = 250 ms

ε = V

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Due bobine con autoinduttanze di 50 mH e 50 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,2. La corrente nella prima bobina varia a 500 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L₁ = 50 mHL₂ = 50 mHk = 0,2di/dt = 500 A/s

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova il fattore di potenza cos φ del circuito.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 200 Hz. Trova la tensione efficace V_C ai capi del condensatore.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 10 µF

V_C = V

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 0,2341 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = +k·3·1 × 10⁻¹²/0,24² = 0,4682 N

F_R = −k·2·1 × 10⁻¹²/0,16² = −0,7023 N

Forza risultante

F = 0,4682 + (−0,7023) = −0,2341 N → |F| = 0,2341 N

Risposta

F = 0,2341 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 79,16 nC

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 10° = 0,005189 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 10° = 0,1042 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1042·√(0,005189/8,99 × 10⁹) = 7,916 × 10⁻⁸ C = 79,16 nC

Risposta

q = 79,16 nC

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 21,35 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω

R_eq = R₁ + 6,346 = 15 + 6,346 = 21,35 Ω

Risposta

R_eq = 21,35 Ω

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,5008 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 6 + 25 = 31 Ω

R₄ ∥ 31 = 13,84 Ω

R₃ + 13,84 = 18,84 Ω

R₂ ∥ 18,84 = 8,351 Ω

R_eq = R₁ + 8,351 = 25 + 8,351 = 33,35 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/33,35 = 0,8995 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 0,8995·25 = 7,512 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,512/15 = 0,5008 A

Risposta

I_R2 = 0,5008 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 20,79 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

Risolvi per il tempo

0,375 = 1,5·e^−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,375)

t = 15·ln(4) = 20,79 ms

Risposta

t = 20,79 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 2,572 V

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 15·3,3/(6,8 + 3,3) = 4,901 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 3,3·47 = 155,1 ms

Scarica

v_C(t) = 4,901·e^−100/155,1 = 2,572 V

Risposta

v_C = 2,572 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 6 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Variazione di flusso per spira

ΔΦ = 2·0,2·0,015 = 0,006 Wb

F.e.m. media

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,006/0,25 = 6 V

Risposta

ε = 6 V

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 5 V

Mutua induttanza

M = 0,2·√(50·50) = 10 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,01·500 = 5 V

Risposta

ε = 5 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: cos φ = 0,605

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

X_L = 94,25 Ω, X_C = 120,6 Ω

Impedenza

|Z| = √(20² + (−26,32)²) = 33,06 Ω

Fattore di potenza

cos φ = R/|Z| = 20/33,06 = 0,605

Il circuito è capacitivo, quindi il fattore di potenza è capacitivo (in anticipo).

Risposta

cos φ = 0,605

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: V_C = 6,858 V

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (108,9)²) = 116 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/116 = 0,08618 A

Tensione sul condensatore

V_C = I·X_C = 0,08618·79,58 = 6,858 V

Risposta

V_C = 6,858 V

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