Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Tre cariche puntiformi giacciono su una retta: +3 µC a sinistra, −3 µC a destra a 30 cm di distanza, e −5 µC tra loro, a 15 cm dalla carica di sinistra. Trova il modulo della forza elettrica risultante F sulla carica centrale. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +3 µCq_R = −3 µCq_M = −5 µCr_L = 15 cmr_R = 15 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Tre cariche puntiformi positive si trovano ai vertici di un triangolo rettangolo: q₃ = 5 µC è nel vertice dell’angolo retto, q₁ = 6 µC si trova a 4 cm da essa lungo un cateto e q₂ = 4 µC a 6 cm da essa lungo l’altro cateto. Trova il modulo della forza elettrica risultante F su q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Trova la corrente i in t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 20 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 100 ms.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 10 µFv_C(0) = 20 Vt = 100 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove a 1,5 × 10⁶ m/s perpendicolarmente a un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria circolare.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1,5 × 10⁶ m/sB = 0,8 T

r = cm

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Un protone parte da fermo, viene accelerato attraverso una differenza di potenziale di 500 V e poi entra ad angolo retto in un campo magnetico uniforme di 0,8 T. Trova il raggio r della sua traiettoria nel campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 24 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 10 Ω, L = 20 mH e C = 10 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 10 ΩL = 20 mHC = 10 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 11,99 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza di ciascuna carica

Il verso verso destra è positivo.

F_L = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,15² = −5,993 N

F_R = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,15² = −5,993 N

Forza risultante

F = −5,993 + (−5,993) = −11,99 N → |F| = 11,99 N

Risposta

F = 11,99 N

La forza risultante è diretta verso sinistra.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 175,8 N

Legge di Coulomb: due cariche puntiformi si attraggono o si respingono con F = k·|q₁·q₂|/r², con k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². Il campo di una carica puntiforme è E = k·|q|/r², diretto in verso uscente da una carica positiva ed entrante in una carica negativa. Forze e campi dovuti a più cariche si sommano come vettori.

Ogni forza su q₃

F₁ = k·6·5 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,06² = 49,94 N

Somma vettoriale

F = √(168,6² + 49,94²) = 175,8 N

Risposta

F = 175,8 N

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,6857 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 12 + 8 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_eq = R₁ + 2,609 = 5 + 2,609 = 7,609 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/7,609 = 0,7886 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,7886·5 = 2,057 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,057/3 = 0,6857 A

Risposta

I_R2 = 0,6857 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,491 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 4,219 Ω

R₃ + 4,219 = 24,22 Ω

R₂ ∥ 24,22 = 4,144 Ω

R_eq = R₁ + 4,144 = 20 + 4,144 = 24,14 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/24,14 = 1,491 A

Risposta

I_R1 = 1,491 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: i = 0,154 A

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 68 Ω = 0,4853 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0,1765 A

Corrente all’istante dato

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1765·(1 − e^−1/0,4853) = 0,154 A

Risposta

i = 0,154 A

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 13,68 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(100) = 10 + (10)·e^−100/100 = 13,68 V

Risposta

v_C = 13,68 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 1,958 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilibrio delle forze

La forza magnetica è sempre perpendicolare alla velocità, quindi incurva la traiettoria in una circonferenza.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raggio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1,5 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,01958 m = 1,958 cm

Risposta

r = 1,958 cm

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,4039 cm

Velocità dopo l’accelerazione

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 309445 m/s

Raggio nel campo

r = mv/(|q|B) = 0,004039 m = 0,4039 cm

Risposta

r = 0,4039 cm

In combinazione: r = √(2mV/|q|)/B, quindi gli ioni più pesanti con la stessa carica descrivono circonferenze più grandi; così si separano gli isotopi.

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,1237 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−189,9)²) = 194 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 24/194 = 0,1237 A

Risposta

I = 0,1237 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 4,472

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,02·10·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,02/(10·10⁻⁶)) = 4,472

Risposta

Q = 4,472

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