Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo di una carica puntiforme
E = k·|q|/r²
Costante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica
F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie
Req = R1 + R2 + …
Resistenze in parallelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Due in parallelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Legge di Ohm
V = I·R
Potenza
P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

  1. Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
  2. Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
  4. Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo
τ = RC | τ = L/R
Risposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensatore in continua
circuito aperto; vC non può variare a salto
Induttore in continua
cortocircuito; iL non può variare a salto
A regime
t ≈ 5τ

Metodo

  1. Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
  2. Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
  3. Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
  4. Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo
B = μ0I/(2πr)
Centro di una bobina piana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide lungo
B = μ0nI, n = N/L
Costante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo
F = BIL·sin θ
Forza su una carica
F = |q|vB·sin θ
Moto circolare
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Flusso
Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento
ε = BLv
Generatore
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Induttanza
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Selettore di velocità e spettrometro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

  1. Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
  2. Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
  3. Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
  4. Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Pulsazione
ω = 2πf
Modulo e fase
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori
V = I·Z

Metodo

  1. Converti la frequenza: ω = 2πf.
  2. Trova ogni reattanza: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
  4. Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia
−−5 µC−−6 µCr = 30 cm

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −5 µC e −6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 30 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = −5 µCq2 = −6 µCr = 30 cm
F = N
2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile
L = 30 cm20°qq

Due palline identiche, ciascuna di massa 3 g, sono appese allo stesso punto con fili isolanti lunghi 30 cm. Ricevono cariche uguali e ogni filo si assesta a 20° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la carica q su ciascuna pallina in nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 30 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²
q = nC
3.Resistori in serie e paralleloMedia
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Trova la corrente IR1 erogata dal generatore, che scorre in R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Resistori in serie e paralleloDifficile
R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​15 Ω

Trova la resistenza equivalente Req vista dal generatore V1.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 5 ΩR3 = 3 ΩR4 = 20 ΩR5 = 8 ΩR6 = 15 Ω
Req = Ω
5.Transitori RC e RLMedia
+−Vs​10 Vt = 0R = 33 ΩL68 mHi(t)

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 99% del suo valore finale? Trova t.

Vs = 10 VR = 33 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Transitori RC e RLDifficile
+−Vs​20 Vsi apre a t = 0R1​ = 10 kΩR2​ = 2,2 kΩi2​C10 µF+−vC​

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente i2 in R2 a t = 10 ms.

Vs = 20 VR1 = 10 kΩR2 = 2,2 kΩC = 10 µFt = 10 ms
i2 = mA
7.Campi magnetici e induzioneMedia
R = 0,5 Ωv = 4 m/sL = 60 cmB = 0,6 T

Un’asta metallica lunga 60 cm scorre a 4 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,6 T entrante nella pagina. Le rotaie sono collegate da un resistore da 0,5 Ω; l’asta e le rotaie hanno resistenza trascurabile. Trova la forza F necessaria per mantenere l’asta in movimento a velocità costante (senza attrito).

B = 0,6 TL = 60 cmv = 4 m/sR = 0,5 Ω
F = N
8.Campi magnetici e induzioneDifficile
Bn = 900 rpm10 cm × 15 cmN = 200B = 0,25 T

Una bobina di 200 spire, 10 cm × 15 cm, ruota a 900 giri/min in un campo uniforme di 0,25 T attorno a un asse perpendicolare al campo. Trova la f.e.m. di picco E0.

N = 200A = 10 cm × 15 cmB = 0,25 Tn = 900 rpm
E0 = V
9.Impedenza AC e fasoriMedia
230 V500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 230 V (efficaci), 500 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF
I = A
10.Impedenza AC e fasoriDifficile
10 V60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 10 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 3,022 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−5 + −6)/2 = −5,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(5,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 3,022 N

Risposta

F = 3,022 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: q = 224 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Forza elettrica dall’equilibrio

La parte orizzontale della tensione equilibra F, la parte verticale equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 20° = 0,01071 N

Distanza

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 20° = 0,2052 m

Carica

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2052·√(0,01071/8,99 × 10⁹) = 2,24 × 10⁻⁷ C = 224 nC

Risposta

q = 224 nC
3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: IR1 = 0,5294 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​9 VR2​3 ΩAR4​2 ΩB

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω
Req = R1 + 2 = 15 + 2 = 17 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo Req, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

IR1 = V1/Req = 9/17 = 0,5294 A

Risposta

IR1 = 0,5294 A
4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: Req = 6,663 Ω

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​20 ΩBR6​15 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R5 + R6 = 8 + 15 = 23 Ω
R4 ∥ 23 = 10,7 Ω
R3 + 10,7 = 13,7 Ω
R2 ∥ 13,7 = 3,663 Ω
Req = R1 + 3,663 = 3 + 3,663 = 6,663 Ω

Risposta

Req = 6,663 Ω
5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 9,489 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms
i(∞) = Vs/R = 10/33 = 0,303 A

Risolvi per il tempo

0,99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)
t = −2,061·ln(0,01) = 9,489 ms

Risposta

t = 9,489 ms
6.Transitori RC e RL

Risposta: i2 = 1,041 mA

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

vC(0) = 20·2,2/(10 + 2,2) = 3,607 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R2·C = 2,2·10 = 22 ms

Scarica

vC(t) = 3,607·e−10/22 = 2,289 V
i2 = vC/R2 = 2,289/2,2 = 1,041 mA

Risposta

i2 = 1,041 mA
7.Campi magnetici e induzione

Risposta: F = 1,037 N

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,6·0,6·4 = 1,44 V

Corrente

I = ε/R = 1,44/0,5 = 2,88 A

Forza frenante

Legge di Lenz: la forza sulla corrente indotta si oppone al moto.

F = BIL = 0,6·2,88·0,6 = 1,037 N

Risposta

F = 1,037 N
8.Campi magnetici e induzione

Risposta: E0 = 70,69 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Velocità angolare e area

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s
A = 0,015 m²

F.e.m. di picco

E₀ = NBAω = 200·0,25·0,015·94,25 = 70,69 V

Risposta

E0 = 70,69 V
9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 3,739 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(15² + (59,65)²) = 61,51 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 230/61,51 = 3,739 A

Risposta

I = 3,739 A
10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,7932 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (−7,676)²) = 12,61 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 10/12,61 = 0,7932 A

Risposta

I = 0,7932 A

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