Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di +1 µC e +6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 20 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCr = 20 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Cariche di +1 µC e +1 µC distano 8 cm. Il punto P si trova a 4 cm dal punto medio tra di esse, sull’asse del segmento. Trova il modulo del campo elettrico E in P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +1 µCd = 8 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la corrente I_R1 erogata dal generatore, che scorre in R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Transitori RC e RLMedia

Il generatore Vₛ carica il condensatore attraverso R₁, e R₂ è collegato in parallelo a C. Il condensatore è scarico quando l’interruttore si chiude in t = 0. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 40 ms.

V_s = 10 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 40 ms

v_C = V

6.Transitori RC e RLDifficile

Subito prima che l’interruttore si chiuda in t = 0, il condensatore ha 18 V con la polarità indicata. Trova la tensione del condensatore v_C in t = 150 ms.

V_s = 20 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un’asta metallica lunga 40 cm scorre a 2 m/s lungo due rotaie in un campo uniforme di 0,4 T entrante nella pagina. Trova la f.e.m. indotta ε tra le sue estremità.

B = 0,4 TL = 40 cmv = 2 m/s

ε = mV

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Una particella alfa attraversa senza deviare un selettore di velocità con campi incrociati E = 4 × 10⁴ V/m e B₁ = 0,5 T. Entra poi in una seconda regione con solo un campo magnetico B₂ = 0,5 T, ad angolo retto. Trova il raggio r della sua traiettoria lì.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 TB₂ = 0,5 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 100 V (efficaci), 200 Hz. Trova l’angolo di fase φ dell’impedenza, in gradi (positivo quando la corrente è in ritardo sulla tensione).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un resistore R₁ è collegato in serie a un parallelo tra R₂ e un condensatore C, a un’alimentazione da 120 V (efficaci), 60 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

I = A

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 2,753 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (1 + 6)/2 = 3,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,2² = 2,753 N

Risposta

F = 2,753 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: E = 3,973 × 10⁶ N/C

Distanza e campo di una carica

r = √(4² + 4²) = 5,657 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,05657² = 2,809 × 10⁶ N/C

Componenti

Le componenti lungo la retta che unisce le cariche si annullano.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·2,809 × 10⁶·0,7071 = 3,973 × 10⁶ N/C

Risposta

E = 3,973 × 10⁶ N/C

Il campo è diretto lungo l’asse, allontanandosi dalle cariche.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 1,167 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 3 + 3 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 6 + 4,286 = 10,29 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10,29 = 1,167 A

Risposta

I_R1 = 1,167 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R1 = 0,365 A

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 25 + 30 = 55 Ω

R₄ ∥ 55 = 8,462 Ω

R₃ + 8,462 = 28,46 Ω

R₂ ∥ 28,46 = 7,4 Ω

R_eq = R₁ + 7,4 = 20 + 7,4 = 27,4 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,4 = 0,365 A

Risposta

I_R1 = 0,365 A

5.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 3,236 V

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Equivalente di Thévenin visto dal condensatore

Cortocircuita il generatore per trovare R_th; apri il condensatore per trovare la tensione a cui si stabilizzerà.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·10/(1 + 10) = 0,9091 kΩ

v_C(∞) = 10·10/(1 + 10) = 9,091 V

Costante di tempo

τ = R_th·C = 0,9091·100 = 90,91 ms

Curva di carica

v_C(t) = 9,091·(1 − e^−40/90,91) = 3,236 V

Risposta

v_C = 3,236 V

6.Transitori RC e RL

Risposta: v_C = 19,27 V

Valore iniziale, valore finale, costante di tempo

La tensione del condensatore non può saltare, quindi parte dal valore immagazzinato e tende alla tensione del generatore.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Tensione all’istante dato

v_C(150) = 20 + (−2)·e^−150/149,6 = 19,27 V

Risposta

v_C = 19,27 V

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 320 mV

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

F.e.m. di movimento

ε = BLv = 0,4·0,4·2 = 0,32 V

Risposta

ε = 320 mV

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: r = 0,3318 cm

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocità selezionata

Senza deviazione: la forza elettrica qE bilancia la forza magnetica qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,5 = 80000 m/s

Raggio nel secondo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,003318 m = 0,3318 cm

Risposta

r = 0,3318 cm

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: φ = −74,49 °

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4,7·10⁻⁶) = 169,3 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−144,2)²) = 149,6 Ω

Angolo di fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−144,2/40) = −74,49°

Risposta

φ = −74,49°

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 1,612 A

Reattanza

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Combinazione in parallelo

Moltiplica numeratore e denominatore per il complesso coniugato per separare Z_p in parte reale e parte immaginaria.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 23,39 − j12,43 Ω

Impedenza totale

Z = 50 + 23,39 − j12,43 = 73,39 − j12,43 Ω

|Z| = √(73,39² + 12,43²) = 74,44 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/74,44 = 1,612 A

Risposta

I = 1,612 A

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