Fisica 2: Elettricità e magnetismo: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Legge di Coulomb e campo elettrico

Legge di Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo di una carica puntiforme: E = k·|q|/r²
Costante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Forza su una carica: F = q·E

Resistori in serie e parallelo

Resistenze in serie: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistenze in parallelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Due in parallelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Legge di Ohm: V = I·R
Potenza: P = V·I = I²R = V²/R

Metodo

Parti dall’estremità della rete più lontana dai morsetti.
Combina i resistori in serie sommandoli e quelli in parallelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Ridisegna il circuito dopo ogni passaggio.
Ripeti finché tra i morsetti resta un solo resistore.

Transitori RC e RL

Costante di tempo: τ = RC | τ = L/R
Risposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensatore in continua: circuito aperto; v_C non può variare a salto
Induttore in continua: cortocircuito; i_L non può variare a salto
A regime: t ≈ 5τ

Metodo

Trova il valore iniziale subito dopo la commutazione: la tensione di un condensatore e la corrente di un induttore non possono variare a scatto.
Trova il valore finale molto tempo dopo la commutazione: un condensatore si comporta come un circuito aperto, un induttore come un cortocircuito.
Trova la costante di tempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistenza vista dal condensatore o dall’induttore.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campi magnetici e induzione

Filo rettilineo lungo: B = μ₀I/(2πr)
Centro di una bobina piana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide lungo: B = μ₀nI, n = N/L
Costante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Forza su un filo: F = BIL·sin θ
Forza su una carica: F = |q|vB·sin θ
Moto circolare: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fili paralleli: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Flusso: Φ = BA·cos θ
Legge di Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Asta in movimento: ε = BLv
Generatore: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Induttanza: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Mutua induttanza: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Selettore di velocità e spettrometro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Metodo

Converti ogni grandezza in unità SI: cm in m, cm² in m², mT e µT in T.
Scegli la formula giusta: B = μ₀I/(2πr) per un filo, μ₀NI/(2R) per il centro di una bobina, μ₀nI all’interno di un solenoide; F = BIL·sin θ oppure |q|vB·sin θ per le forze.
Per l’induzione, trova la variazione di flusso ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e usa ε = N·ΔΦ/Δt, oppure ε = BLv per un’asta in movimento e NBAω per una bobina rotante.
Trova i versi separatamente con le regole della mano destra, e con la legge di Lenz per le correnti indotte.

Impedenza AC e fasori

Impedenze: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Pulsazione: ω = 2πf
Modulo e fase: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Legge di Ohm con i fasori: V = I·Z

Metodo

Converti la frequenza: ω = 2πf.
Trova ogni reattanza: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Somma le impedenze come resistori, con Z = R + jX.
Trova il modulo |Z| = √(R² + X²) e l’angolo φ = atan(X/R), poi usa la legge di Ohm con i fasori.

2Esercizi

1.Legge di Coulomb e campo elettricoMedia

Due piccole sfere metalliche identiche portano cariche di −1 µC e +6 µC. Vengono messe a contatto e poi riportate a 15 cm di distanza. Trova il modulo della forza F tra di esse ora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −1 µCq₂ = +6 µCr = 15 cm

F = N

2.Legge di Coulomb e campo elettricoDifficile

Un elettrone entra nel campo uniforme tra due armature parallele muovendosi parallelamente a esse a 1,5 × 10⁷ m/s. Le armature sono lunghe 2 cm e il campo tra di esse è 3100 N/C. Carica dell’elettrone 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; trascura la gravità. Di quanto y viene deviato lateralmente quando esce dalle armature? Dai la risposta in mm.

v₀ = 1,5 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 3100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistori in serie e paralleloMedia

Trova la corrente I_R2 in R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistori in serie e paralleloDifficile

Trova la resistenza equivalente R_eq vista dal generatore V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitori RC e RLMedia

L’induttore non porta corrente prima che l’interruttore si chiuda in t = 0. Quanto tempo dopo la chiusura dell’interruttore la corrente raggiunge il 95% del suo valore finale? Trova t.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Transitori RC e RLDifficile

L’interruttore è chiuso da molto tempo, quindi il circuito è a regime. A t = 0 l’interruttore si apre. Trova la corrente i₂ in R₂ a t = 75 ms.

V_s = 20 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µFt = 75 ms

i₂ = mA

7.Campi magnetici e induzioneMedia

Un protone si muove verso l’alto in un campo magnetico uniforme orientato verso l’interno della pagina. Clicca il verso della forza magnetica su di esso.

v: verso l’altoB: verso l’interno della pagina

1verso l’alto
2verso destra
3verso il basso
4verso sinistra

8.Campi magnetici e induzioneDifficile

Due bobine con autoinduttanze di 200 mH e 200 mH hanno un coefficiente di accoppiamento di 0,4. La corrente nella prima bobina varia a 100 A/s. Trova la f.e.m. ε indotta nella seconda bobina.

L₁ = 200 mHL₂ = 200 mHk = 0,4di/dt = 100 A/s

ε = V

9.Impedenza AC e fasoriMedia

Un circuito RLC serie è collegato a un’alimentazione da 12 V (efficaci), 1000 Hz. Trova la corrente efficace I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedenza AC e fasoriDifficile

Un circuito RLC serie ha R = 20 Ω, L = 20 mH e C = 0,01 µF. Trova il suo fattore di qualità Q in risonanza.

R = 20 ΩL = 20 mHC = 0,01 µF

Q =

3Soluzioni

1.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: F = 2,497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carica dopo il contatto

q′ = (−1 + 6)/2 = 2,5 µC

Nuova forza

F = 8,99 × 10⁹·(2,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 2,497 N

Risposta

F = 2,497 N

Ora entrambe le sfere hanno lo stesso segno, quindi si respingono.

2.Legge di Coulomb e campo elettrico

Risposta: y = 0,4846 mm

Tempo tra le armature

t = L/v₀ = 0,02/1,5 × 10⁷ = 1,333 × 10⁻⁹ s

Accelerazione laterale

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3100/9,109 × 10⁻³¹ = 5,452 × 10¹⁴ m/s²

Freccia

y = ½·a·t² = ½·5,452 × 10¹⁴·(1,333 × 10⁻⁹)² = 0,0004846 m = 0,4846 mm

Risposta

y = 0,4846 mm

L’elettrone viene spinto verso l’armatura positiva, in verso opposto al campo.

3.Resistori in serie e parallelo

Risposta: I_R2 = 0,75 A

Resistori in serie e in parallelo: in serie la stessa corrente attraversa ogni resistore e R = R₁ + R₂ + …. In parallelo ogni resistore ha la stessa tensione e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una rete a scala si riduce una coppia alla volta finché resta un’unica resistenza equivalente.

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 12·24/(12+24) = 8 Ω

R_eq = R₁ + 8 = 8 + 8 = 16 Ω

Corrente dal generatore

Il generatore vede solo R_eq, quindi la legge di Ohm dà la corrente che eroga. Quella corrente scorre in R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/16 = 1,125 A

Corrente in R₂

Sottrai la caduta su R₁ per ottenere la tensione al nodo A, che è la tensione ai capi di R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,125·8 = 9 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9/12 = 0,75 A

Risposta

I_R2 = 0,75 A

4.Resistori in serie e parallelo

Risposta: R_eq = 15,81 Ω

Combina i resistori partendo dall’estremo lontano

Parti dall’estremo più lontano dal generatore e torna verso di esso. I resistori percorsi dalla stessa corrente sono in serie; i resistori tra gli stessi due nodi sono in parallelo.

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 16,36 Ω

R₃ + 16,36 = 22,36 Ω

R₂ ∥ 22,36 = 12,81 Ω

R_eq = R₁ + 12,81 = 3 + 12,81 = 15,81 Ω

Risposta

R_eq = 15,81 Ω

5.Transitori RC e RL

Risposta: t = 4,943 ms

Transitori del primo ordine: in un circuito con un solo condensatore o un solo induttore, ogni tensione e corrente passa esponenzialmente dal valore iniziale a quello finale: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Dopo circa 5τ il circuito si è assestato.

Costante di tempo e corrente finale

Molto tempo dopo la chiusura dell’interruttore l’induttore si comporta come un cortocircuito, quindi la corrente finale dipende solo da R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Risolvi per il tempo

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −1,65·ln(0,05) = 4,943 ms

Risposta

t = 4,943 ms

6.Transitori RC e RL

Risposta: i₂ = 0,3481 mA

Tensione iniziale del condensatore

A regime il condensatore è un circuito aperto, quindi R₁ e R₂ formano un partitore di tensione. La tensione del condensatore non può variare bruscamente quando l’interruttore si apre.

v_C(0) = 20·2,2/(10 + 2,2) = 3,607 V

Costante di tempo dopo l’apertura dell’interruttore

τ = R₂·C = 2,2·22 = 48,4 ms

Scarica

v_C(t) = 3,607·e^−75/48,4 = 0,7658 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,7658/2,2 = 0,3481 mA

Risposta

i₂ = 0,3481 mA

7.Campi magnetici e induzione

Risposta: verso sinistra

Forze magnetiche: un filo rettilineo percorso da I in un campo B risente di F = BIL·sin θ, e una carica in movimento di F = |q|vB·sin θ, dove θ è l’angolo tra la corrente (o la velocità) e B. La forza è perpendicolare a entrambi: punta le dita della mano destra lungo I o v, piegale verso B, e il pollice indica F per una carica positiva; invertila per una carica negativa. Poiché F è perpendicolare a v, una carica che si muove attraverso un campo uniforme descrive una circonferenza: |q|vB = mv²/r dà r = mv/(|q|B) e il periodo T = 2πm/(|q|B), che non dipende dalla velocità. Due fili paralleli si attraggono per correnti nello stesso verso: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regola della mano destra

Punta le dita lungo la corrente o la velocità e piegale verso B; il pollice indica la forza su una carica positiva.

v: verso l’alto, B: verso l’interno della pagina

Verso della forza

verso sinistra

Risposta

F: verso sinistra

8.Campi magnetici e induzione

Risposta: ε = 8 V

Induzione elettromagnetica: il flusso attraverso una spira è Φ = BA·cos θ, con θ tra B e la normale alla spira. Legge di Faraday: una variazione di flusso induce una f.e.m. = −N·dΦ/dt in una bobina di N spire, e la legge di Lenz dice che la corrente indotta scorre in modo che il suo campo si opponga alla variazione. Un’asta che si muove attraverso un campo dà una f.e.m. = BLv. Una bobina che ruota con ω dà e = NBAω·sin ωt, con picco NBAω. Autoinduttanza: f.e.m. = −L·di/dt, con L = μ₀N²A/l per un solenoide lungo, e l’energia immagazzinata è W = ½LI². Due bobine accoppiate: f.e.m.₂ = −M·di₁/dt con M = k√(L₁L₂).

Mutua induttanza

M = 0,4·√(200·200) = 80 mH

F.e.m. indotta

ε = M·di/dt = 0,08·100 = 8 V

Risposta

ε = 8 V

9.Impedenza AC e fasori

Risposta: I = 0,07742 A

Circuiti AC con i fasori: resistori, induttori e condensatori hanno impedenze R, jωL e 1/(jωC), con ω = 2πf. In serie le impedenze si sommano come resistenze, ma come numeri complessi. Corrente e tensione efficaci seguono la legge di Ohm con |Z|.

Reattanze

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedenza

In serie le impedenze si sommano come numeri complessi: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (118,4)²) = 155 Ω

Corrente

In un circuito serie la stessa corrente attraversa ogni elemento.

I = V/|Z| = 12/155 = 0,07742 A

Risposta

I = 0,07742 A

10.Impedenza AC e fasori

Risposta: Q = 70,71

Frequenza di risonanza

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,01·10⁻⁶)) = 11254 Hz

Fattore di qualità

Q confronta la reattanza in risonanza con la resistenza: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,02/(0,01·10⁻⁶)) = 70,71

Risposta

Q = 70,71

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